甘肃省兰州市第二十七中学 陈鸿斌730030

纵观近几年的高考,以初等函数为背景来命制压轴题是个趋势,有时还会渗透高等数学背景.随着高考命题改革的逐步深入,为了渗透新课程理念,命题者常受到自身学术和研究方向的影响,往往考查一些有着高等数学背景的问题.此类题目设计形式新颖,成为高考试卷中一道亮丽的风景线.因为这些问题以高等数学知识为背景,即试题的设计来源于高等数学,但解决的方法却是高中数学所学的初等数学知识,对学生思维的逻辑性、抽象性以及学生的理解能力和自学能力提出了更高的要求,着力考查数学核心素养.

1 题目呈现

本题是2020年高考数学文科试题全国卷II的第21题.本文就来揭示本题背后的高等数学背景——Lagrange中值定理.

2 高等数学背景解读

本题的第（2）问就具有《数学分析》[1]中“Lagrange中值定理”的背景.

几何意义:曲线在x=ξ处的切线与(a,f(a))和(b,f(b))的连线平行,或者说,曲线在x=ξ处的切线斜率与(a,f(a))和(b,f(b))的连线的斜率相等.如图1所示.

图1

3问题解答

点评：本题主要考查函数的单调性、最值、导数、含参不等式恒成立等基本知识，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.作为一线的中学教师，看到本题的表达形式，要能够领悟命题者的设计意图，背景来源于Lagrange中值定理.因此本题体现了高等数学与高中数学教学之间较好的衔接，很好地考查了学生的学习潜能，有利于高校选拔人才.从笔者……