北京师范大学出版集团 岳昌庆 100875

高一学习等差数列时，其前n项和Sn的最值问题，可以从二次函数等角度来理解.作为一个高三学生，又多了求导这一有力的工具，方法会更多.当然要结合n∈N*.

例1［2019年高考北京市卷理科第10题］设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______，Sn的最小值为______.

法2：令an＝n－5＝0得n＝5.又a1=-4＜0，d＝1＞0，所以当n＝4或5时，Sn取最小值为－10.

评注：（1）解法1将Sn看成关于n的二次函数，用二次函数的最值相关知识，再结合自变量n∈N*，从而求得Sn的最小值；需要在S4，S5的比较中找到最小值（此题恰好S4=S5）；本题如果求Sn为最小值时的项数n，还是一个两解的题目呢.（2）解法2抓住“a1＜0，d＞0”这一“起始值为负的递增等差数列”的特性，找到an中正负值的“分界线”（该项值为零更好），从而得Sn的最小值.解法2为我们提供了一种找到Sn最值的快速解法，见本文例3.从这个角度看，本题的第1空是为第2空做铺垫的.（3）本题还可由a5＝0，直接得出S4或S5为Sn的最小值.因为一个首项为负的等差数列，其公差d＞0，在增长的过程中，一定有某一项为接近零的负值，下一项为接近零的正值，甚至会有某一项直接为零.这就可以理解为什么“a1＜0，d＞0”Sn就有最小值了.（4）解法3直接对Sn（将Sn看成关于n的二次函数）求导数，通过讨论Sn的单调性，结合n∈N*，从而求得Sn的最小值.（5）以下各例均仅给出一种解法，其他解法限于篇幅，请读者自己补齐.（6）等差数列，若“a1＜0，d＜0”，则Sn也存在最大值（即a1），结论平凡，本文不予研究.

评注：（1）本质上，例2与例1是互逆的.（2）本题第（2）问用错位相消法求和，不是本文重点，故过程略去.

例3［2014年高考北京市卷理科第12题］若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝_____ _时，{an}的前n项和最大.

简解：由已知可得3a8＞0，a8+a9＜0，所以a8＞0，a9＜-a8＜0.公差d＝a9-a8＜0，a8=a1+7d＞0，即a1＞-7d＞0，从而n＝8时，{an}的前n项和最大.

评注：（1）这道题命制得高级、巧妙，甚至真正做到了高考题的命制最高境界——让考生“只动脑不动笔”，确实考查了数学素养.（2）本题还用到了，对于等差数列：

a7+a9=a8+a8，a7+a10=a8+a9.

例4［人民教育出版社数学必修5B版2007年4月第2版第55页第2（3）题］等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S14＞0，S15＜0，则在S1,S2,…中最大的是前____项的和.

简解：由已知可得a1+a14＞0，a1+a15＜0，即a7+a8＞0，2a8＜0，故a7＞-a8＞0.公差d＝a8-a7＜0，a7=a1+6d＞0，即a1＞-6d＞0，从而在S1,S2,…中最大的是前7项的和.

评注：（1）本题也属于“a1＞0，d＜0”型.（2）不能认为S14最大，因为虽然S14＞0,S15＜0，但Sn是关于n的二次函数，无法判断：S1,S2,…,S13均为正，S15及以后各项均为负.（3）本题即使可以得出“S1,S2,…,S13均为正，S15及以后各项均为负”也不能认为S14最大，因为本题是对等差数列{an}求前n项的和，而不是对数列{Sn}求前n项的和.（4）例3是例4的一种简单情况，说明“高考题目源于课本，高于课本”，学习中抓课本习题的落实是非常必要的.

评注：（1）一次有益的大胆尝试，首次将目标函数设定为nSn.（2）求出函数f(n)的导函数f′(n)后，讨论f(n)的单调性的过程，在解答过程中略去.（3）本题需在f(6)，f(7)的比较中找到最小值（即f(7)）.

作业1：［2018年高考全国卷Ⅱ理科第17题］记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值.

作业2：［2010年高考全国课标卷文科第17题］设等差数列{an}满足a3＝5,a10＝－9.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

作业3：［1992年高考全国卷文、理科第27题］设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3＝12,S12＞0,S13＜0.（1）求公差d的取值范围.（2）指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并说明理由.

作业4：［人民教育出版社数学必修5B版第43页第3题］等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＜0,S10＞0，则此等差数列的前n项和中，n是多少时取得最小值？