广东省佛山市罗定邦中学 龙 宇 528300

在解三角形问题中，常常隐含了很多“圆”的信息，除了常见的外接圆外，还有阿波罗尼斯圆以及米勒圆等等.笔者对这些“圆”问题进行了梳理，以飨读者.

1 三角形的外接圆

1.1 如何构造外接圆

在初中阶段，我们便熟悉定理：在圆中，直径所对的圆周角为直角.逆向运用该定理，可发现在直角三角形中，当斜边长固定时，斜边所对的顶点的轨迹为一个圆（去掉两个点）.推广该定理，在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若边a及角A为定值，则点A的轨迹为一段圆弧，特别地，当A=90∘时，对应的轨迹为圆（去掉两个端点）.

图1

当A为锐角时，则对应的轨迹为劣弧BC，特别地，当A=90∘时，对应的轨迹为圆（去掉两个端点）.

1.2 利用外接圆解题举例

图2

在本题中出现了明显的定角与定边，所以容易联想到外接圆.而有些解三角形问题中却没有明确地给出相应的条件，需要答题者结合平面几何的相关知识转化条件才能发现外接圆，具体如下例：

例2（2020届广东省文科数学模拟试题（一）11）在△ABC中，已知A=60∘，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为（）.

分析：在本题所涉及到的△ABC中，已知一个角以及该角对边上的三等分线.除了类比极化恒等式的解法外，能否通过轨迹的思想进行求解呢？

解析：如图3，过点B作AC的平行线与AD的延长线交于点E.可得∠ABE=120∘，结合三角形相似可得DE=2AD=4.

图3

2 阿波罗尼斯圆

图4

3 米勒圆

3.1 米勒问题以及米勒圆简介

米勒问题：早在1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？……