柯 婷,姜 国,邓梦婷

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

随机积分方程在材料学、生物学、物理学、社会学、经济学、医学等各个领域得到了广泛的应用。然而，大多数随机沃尔泰拉积分方程不能显式求解。因此，研究一种有效的、准确的数值算法具有重要的意义。利用Walsh函数、块脉冲函数、Fourier级数、Legendorian和Chebyshev多项式等正交基函数或多项式来求解不同的Volterra积分方程，见参考文献[1～11].近年来，哈尔小波作为一种强有力的工具，在数值分析中得到了充分的应用。用于求解随机积分方程数值解的文献有[12～14].

在文献[11]中，Maleknejad等人使用模块脉冲函数(BPFs)来求解线性随机It-Volterra积分方程的数值解。Jiang等人利用BPFs研究了二维非线性方程组的数值解[15].Ahmadinia等提出了一种基于最小二乘法和BPFs的计算方法来求解随机It-Volterra积分方程[16].Maleknejad等人利用BPFs和随机积分运算矩阵求解了m维随机It-Volterra积分方程[17].在文献[12]中，Fakhrodin用哈尔小波(HWs)推导了线性随机It-Volterra积分方程的数值解。

与文献[11,16,17]相比，本文最重要的创新是将最小二乘法和哈尔小波相结合，将随机It-Volterra积分方程转化为线性代数方程组。

第一节，给出了模块脉冲函数和哈尔小波函数的一些基本概念。第二节，给出了HWs与BPFs之间的关系。第三节，引入最小二乘法。第四节，证明了误差分析。第五节，利用MATLAB进行了数值模拟。

1 预备知识

1.1 模块脉冲函数

BPFs已经被许多作者研究并应用于解决不同的问题，见文献[3,10,11,15,17].定义BPFs为：

1.2 哈尔小波函数

正交HWs的定义如下[12]：

哈尔小波hi(t)在区间[0,1)是成对标准正交的，

其中δij是Kronecker符号。……