张荣培, 霍俊蓉, 杨程程

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

为描述晶体中的反相位边界运动, Allen和Cahn于1979年提出Allen-Cahn方程[1],可以用于描述铁合金溶液冷却过程中结晶固体相分离运动。它是一个二阶非线性抛物方程,对于不同的物理体系具有不同的自由能形式。Allen-Cahn方程及其各种变形在图像分析[2]、晶体的生长[3]、平均曲率运动[4]和随机扰动[5]等实际问题中都发挥着极为重要的作用。由于此类相场模型没有真解,所以采用有效的数值方法来进行模拟就显得尤为重要。

近年来,有很多专家和学者对Allen-Cahn 方程的数值逼近方法进行了研究,包括有限元方法[6],有限差分法[7]、谱方法[8-9]、间断有限元方法[10]和无网格方法[11]等。另外,在处理高维问题时,算子分裂方法[12]也是一种求解复杂问题的有效策略。

本文应用二阶中心差分方法离散Allen-Cahn方程,利用Kronecker积写出二维拉普拉斯算子的微分矩阵,得到一组非线性常微分方程组。接下来发展积分因子方法进行时间离散。在时间离散过程中,应用Kronecker积的性质将微分矩阵进行谱分解,结合快速余弦变换,可以快速地进行时间离散。

1 数值方法

本文考虑以下形式的非线性Allen-Cahn方程的数值解:

(1)

边界和初始条件如下:

1.1 空间离散

设u在网格节点(xi,yj)的数值解为ui,j,由齐次Neumann边界条件,在网格内部点(xi,yj)和边界处的二阶导数差分格式分别为

定义离散解ui,j,1≤i≤Nx,1≤j≤Ny为Nx×Ny阶的矩阵U。由差分格(4)式和(5)式,得到该方程在x,y方向的微分矩阵分别为Bx和By,其中矩阵Bx为Nx×Nx阶的矩阵,(Bx)i,i=2,i=2,…,Nx-1,(Bx)i,i-1=-1,i=2,…,Nx,(Bx)i,i+1=-1,i=1,…,Nx-1,(Bx)1,1=(Bx)Nx,Nx=1,矩阵Bx中其他位置的元素均为0。……