何立国, 许聪儒, 皇甫莹

(沈阳工业大学, 理学院, 沈阳 110870)

0 引 言

一个自然数n如果不能被任意素数的平方整除,则称n是平方自由的,否则称之为非平方自由的。文献[1]研究了不可约特征标次都是平方自由的有限群G,证明了在G是不可解群时,若不计可解直因子,G同构于A7;在G是可解群时,G的导长和幂零长分别至多为4和3。文献[2]研究了关于共轭类长的类似结果,证明了若G的每个共轭类长都是平方自由的,则G是超可解的,且导长与幂零长分别至多为3和2。实际上在文献[1-2]中还提供了更加丰富的群结构信息。这种关于群的共轭长与不可约特征标次数之间出现对偶结果的现象引起了很多群论学者的兴趣[3-10],同时也引起了一个新问题:如将对群的关于特征标次数或共轭类长的约束条件替换为关于元阶的约束条件,即当群G的元素阶都是平方自由的情况下,G有什么样的结构呢? 本文证明了交错群An(n≥6),所有26个散在单群以及Tit单群中都是元素阶自由的。利用有限单群分类定理,进一步证明了若有限群G的每个子群与因子群均不同构于一个李型单群,则G是个可解群。此处视A5为一个李型单群, 这是因为A5≅PSL2(4)≅PSL2(5)。易见,群G是元阶平方自由的当且仅当G的方次数exp(G)是平方自由的。本文用N:H表示一个H作用在N的半直积,若G=N:H,则表示N是G的正规子群,G=NH且N∩H=1。

除非特别说明,本文的概念和术语都是标准的[11]。

1 引 理

引理1 如果G是元素阶平方自由的,则G的子群及因子群也是元素阶平方自由的。

引理2 交错群An(n≥6)不是元阶平方自由的,但A5是元阶平方自由的。……