于发军, 刘苡妍, 李 丽

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

最近,Ablowitz和Musslimani[1-2]提出了一些新的非局部可积非线性方程,包括非局部可积非线性薛定谔方程、MKdV方程等。根据波的相对长度与介质非线性响应函数的相对尺度,非局部非线性方程可分为4类:局部类[3]、弱非局部类、一般非局部类和强非局部类。非局域非线性介质中的空间孤子引起了人们极大的兴趣[4-6],其中文献[7]介绍了非局域空间孤子的研究现状。

随着孤子理论研究的深入,出现了求解非线性偏微分方程的许多方法,如齐次平衡法[8]、双线性[9]、Darboux变换(DT)法[10]、反散射变换法[11-13]。文献[14]中推导出Ablowitz-Musslimani方程的具有等时对称势的一些离散的畸形波解。Li和Xu在文献[17]中通过N次Darboux变换,得到了具有自诱导拟时对称势的非局部NLS方程的局域波解。利用广义达布变换,文献[18]导出了具有散焦型非线性的对称非局部NLS模型的有理孤子解,包括1-阶解、暗-反暗孤子和反暗-暗孤子。Zhang,Qiu,Cheng和He推导了一类非局部NLS方程的带有2个自由相位参数的有理解,该解满足文献[19]中的等时(PT)对称性条件。闫等在文献[20]中提出了连续可积局部和非局部向量NLS方程统一的双参数波模型。

对于可积孤子方程,构造显式解一直是一个基本而重要的问题。然而,目前对于反时空非局部MKdV方程的研究工作较少。本文对非局域MKdV方程构造N次DT,求反时空MKdV方程的精确解,主要从平面波背景推导出了一些单孤子、双孤子和N孤子解公式。

1 Darboux变换求解非局部MKdV方程

最近文献[1-2]中给出了一个可积实非局部(也称反时-空)MKdV方程