詹 妍,赵 浩

(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

0 引言

纤维化作为复叠空间的自然推广,对同伦论的研究有着重要的作用[1].在拓扑空间范畴中,对纤维化理论的研究已经完善.1966年,Spanier[2]研究了复叠空间理论,引入纤维丛和Hurewicz纤维化的概念.特别地,文[2]给出了升腾函数的概念并证明了映射p:E→B是纤维化当且仅当存在p的升腾函数.与之对偶地,文[2]也给出了收缩函数的概念并证明了函数f:X0→X是上纤维化当且仅当存在f的收缩函数.利用升腾函数与收缩函数的概念,文[2]给出了诱导纤维化的相关结论:对任一空间X,映射p:E→B诱导映射p∗:EX→BX,由p∗(g)=p◦g定义,其中EX与BX表示映射空间.若p是纤维化,则p∗也是纤维化.与之对偶地,对任一空间Y,映射f:X0→X诱导映射f∗:YX→YX0,由f∗(g)=g◦f定义.若f是上纤维化,则f∗是纤维化.1970年,Maunder[3]根据Hurewicz纤维化的定义,证明了任何一个光滑映射既可表示为一个上纤维化和同伦等价的复合,也可表示为一个同伦等价和纤维化的复合.

相对于拓扑空间范畴中纤维化的理论,在其它范畴中也有对应的纤维化理论,Diffeological空间范畴便是其中的范畴之一.在Diffeological空间范畴中,其对象为Diffeological空间,态射为Diffeological空间之间的光滑映射.Diffeological空间作为光滑流形的一般化,最初由Souriau[4]在上世纪80年代提出.2013年,Iglesias-Zemmour[5]在专著[5]中系统地给出了Diffeological空间的同伦理论.在文[6]中,Haraguchi-Shimakawa研究了Diffeological空间范畴中的模结构,并给出了两个光滑映射f,f0:X→Y之间的光滑同伦的另一定义,即存在X×I到Y的光滑映射H使H0=f,H1=f0,且不失一般性地可假设H为tame同伦.而在文[7]中,Haraguchi研究了光滑CW复形的同伦……