朱茂春,刘 杰

(江苏大学数学科学学院,江苏 镇江 212013)

1 引言

一个自然的问题是当n=1时,有没有类似的Trudinger-Moser不等式呢?2015年,Martinazzi,Iula以及Maalaoui在文献[9]中给出了一个肯定的回答,他们得到了定义在直线上的分数次Sobolev空间上的Trudinger-Moser不等式,即若p∈(1,∞),则对于任何满足|I|<∞的开区间I⊂,当α≤αp时,有

进一步,他们证明了常数αp是最佳的,即当α>αp时,上式中的上确界可以无穷大.

但一维情形下分数次Sobolev空间上奇异型Trudinger-Moser不等式的研究仍是空白.本文将着力关注、探讨并尝试建立一维情形下有界区间上的奇异型Trudinger-Moser不等式并讨论常数的最佳性.

为了叙述主要结果,首先介绍分数次Sobolev空间Hs,p.令s∈(0,1),考虑函数空间Ls():

对于u∈Ls(),定义(−∆)su如下:

其中S为光滑的速降函数空间,并且对于ϕ∈S,定义

其中F−1为Fourier逆变换,为ϕ的Fourier变换.对于s∈(0,1)及p∈[1,∞),s=,定义Bessel位势空间

以及它的子空间

其中I⊂是一个有界区间.上述两个空间的范数是:

本文的主要结果如下.

定理1.1对于任意有限区间I⊂,p∈[1,∞)及β∈[0,1),存在常数C(p,β),满足对任意的0≤α≤αp,有

成立,其中

进一步,(1.1)式中的常数αp是最佳的,即如果α>αp,(1)式中的上确界可以任意大.

2 定理1.1的证明

为了证明定理1.1,首先给出下面的重排定义及处理卷积重排问题时常用的O’Neil引理.

引理2.1设I为的有界子集,.则

下面估计u(x)的重排函数.由于f≥0利用O’Neil引理,可以得到

证毕.

引理2.2[11]令0<α≤1,p∈(1,∞),a(s,t)是定义在(−∞,∞)×[0,∞)的非负可测函数且满足

其中

定理1.1的证明对(2.1)式做变量替换t=e−s|I|,可以很容易得到

令

以及

结合 (2.2)–(2.4) 式,有

通过简单的计算,可知

并且由重排的基本性质,可知

对于任意的0≤α≤αp,利用Hardy-Littlewood不等式[12],有

其中

因为(2.4)中的a(s,r)满足当0

且有

于是利用引理2.2,可以得到

因此,当0≤α≤αp,可以得到

下面证明常数……