巧构图形，妙解之术

2021-05-24肖伟英

学校教育研究 2021年6期

摘要：数形结合是初中数学的一种重要的解题方法，图形的构建可以使学生对较复杂的几何题快速理解题意，清晰地找到解题的入手点和突破口。笔者在教学中不断尝试引导学生根据题意巧构图形，使解题思路豁然开朗，突破常规的繁琐的解题过程。此文结合我在教学中的实例加以探讨，探究初中数学几何题巧构图形的几点小技巧及其意义。

关键词：必要性小技巧意义展望

初中数学教学的教学目标不仅要使学生理解数学的专有概念、掌握知识的内涵、运用知识解决现实问题，而且它要求教师注重引导学生参与探究过程，激发学生的探究欲望和学习兴趣，使学生通过学习探究活动掌握双基，形成技能。笔者在教学实践中发现：有些学生难以构建简洁明了、符合题意的图形，以至碰到较抽象或较复杂的几何题就放弃。长期以往，不仅教学效果极速下降，而且学生的学习兴趣也会逐渐埋没。因此，巧构图形是解决较复杂较抽象的几何题教学的关键。

一、指导学生巧构图形的必要性

由于学生的年龄特点和数学学科的逻辑抽象性决定着学生在根据题意构建图形的过程中存在一定的困难，以至学生难以构建简洁明了的图形来快速理清题意。

（一）学生的年龄特征和知识水平决定必须注重引导学生巧构图形

初中生大多处于13～16岁，他们已具备一定的探究的知识基础，具有一定的转化能力和化归思想。由于学生处于初中的知识水平，他们探究的深度和理解题目的清晰度都较狭窄，以至所画出的图形有些繁琐，理起思路来当然就谈不上快捷高效了。因此，引导学生巧构图形是必要的。

（二）数学学科的特点决定必须注重引导学生巧构图形

数学学科的教学特色处处尽显“教是为了不教”的特点，课堂老师的点拨指导仅仅是为学生点明一种学习方法，达到去粗求精、去繁求简、去假求真，使解题高效率，知识快消化，问题快解决。指导学生巧构图形，让学生学会自主构建简洁明了、准确反映题意的图形，掌握解题方法，达到“不教”的教学目的。

二、巧构图形的几个技巧

技巧一：根据已有定理巧构图形

在求某些线段长度的数学几何题里，应该注重分析所有条件靠拢哪些已学的定理或公式，可以从这方面构建图形来理清解题思路。

如我在教学《圆》的垂径定理后给学生出示下面一道题：

在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦AB的长度为8cm，求圆心O到弦AB的距离。

题目一出示，学生马上理会应构建图形来理清题意，构建出的图形主要有以下几种：

不难发现：构建图（1）、图（2）的同学还得在已画图形的基础上再添辅助线才能把问题的突破口找到，从深层考虑，我们可以发现：这些学生还没真正理清所求问题与已学知识点的联系。

由图（3）分析得到：构建此图的步骤：①画⊙O，画弦AB;②画圆心O到弦AB的距离OC;③连接弦AB的一个端点B与圆心O，形成半径OB。这样图上马上显示了已学过的垂径定理和勾股定理，图形简洁明了，解答起来自然就水到渠成了。

教完這道题后我深深反思：根据题意构建几何图形不一定按题目所给条件的顺序来画图，对于任意性的不知该摆何处才最恰当的条件不妨先摆后出示。如上图的⊙O的半径长为5cm，这个条件具有任意性，它可以在图上任意画一条半径都符合题意。而对于图（3），把这个任意性的条件在最后才出示，不仅使图形简洁明了，而且还使解题思路豁然开朗，达到事倍功半的教学效果。

技巧二：寻找与已知条件相同的隐性条件来巧构图形

有些数学题目所需的条件往往需要添加一两个与已知条件相对应的隐性条件才使题目解答起来简洁明了。

技巧三：根据已知条件的特征靠拢所求的问题来巧构图形

如：如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，

AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD ，

求弦AC的长。

在教学实践中，我发现很多学生首先抓住“AD是⊙O的直径”这个条件来构建图形，有以下两种情况：

图（1）与图（2）都采用了“直径所对的圆周角等于直角”这个性质来构建图形。认真观察后不难发现：图（1）构建了一个△ABD与所求的线段AC无关，解答起来思路自然不够清晰，解题当然不够简洁。而在图（2）中，连结CD后，发现构建的△ACD包含所求的线段AC，这样就把问题转化成求Rt△的一条边长的问题了。

学生通过推导推理过程，进一步体会到根据题意构建的图形方式可能有多种情况，如果构造的图形能转化成包含所求问题在内的学生熟悉的图形，应当先考虑。这样，才能使考虑问题的范围缩小，思路才能彻底清晰，解答起来自然水到渠成了。

技巧四：通过分割多边形来巧构图形

三、巧构图形的意义

巧构图形可以提高教学质量，是教师自身成长的催化剂，是完善教材的解题技巧的需要！