崔云安，安莉丽

(哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080)

0 引 言

Orlicz空间作为一类特殊的Banach空间，自从1932年波兰数学家Orlicz引入Orlicz空间以来，Orlicz空间理论就因其重要的理论和应用价值受到了许多数学工作者的关注，并在微分方程、逼近论、控制论、不动点等许多数学分支学科中得到了广泛应用[1]。在其发展过程中主要出现了3个范数：1932年由Orlicz本人给出了Orlicz范数的定义[2]；1955年，Luxemburg在Orlicz空间中引入了Luxemburg范数[3]；2008年崔云安和段丽芬引入了p-Amemiya范数[4-7]。众所周知，关于赋Orlicz范数、Luxemburg范数以及p-Amemiya范数的Orlicz空间性质的研究已经比较成熟，所以对Orlicz空间的新性质的进一步研究是十分重要的[8-9]。我们将研究比上述3种范数更具有广泛意义的新范数，赋Φ-Amemiya范数的Orlicz空间的可达性、端点和严格凸性。主要给出了范数可达的充要条件和端点的判别准则，并据此得到了赋Φ-Amemiya范数的Orlicz空间严格凸的充要条件。

1 预备知识

本文以X表示一个Banach空间，B(X)和S(X)分别表示闭单位球和单位球面。

设L0表示定义在G上的可测实函数全体，

定义IΦ：L0→R+=[0,+∞)如下：

由Orlicz函数生成的Orlicz空间记为

LΦ={x∈L0:∃λ>0,IΦ(λx)<∞}

关于Orlicz范数(Amemiya范数)：

Luxemburg范数：

以及广义Orlicz范数：

均成为Banach空间[11-15]，简记为:

LΦ=[LΦ,‖·‖ΦΦ]

LΦ,p=[LΦ,‖·‖ΦΦ,p]

定义2设Φ1是N-函数，(G,∑,μ)是无原子有限测度空间，记L0(G)为G上的μ-可测函数的全体。定义模IΦ,Φ1∶L0(G)→R如下：

由Φ1及Φ是凸函数知，IΦ,Φ1为凸模，记

LΦ,Φ1={x∈L0(G)∶∃λ>0,IΦ,Φ1(λx)<+∞}

定义3设Φ是Orlicz函数，满足max{0,u-1}≤Φ(u)，在LΦ,Φ1(或EΦ,Φ1)上赋Amemiya范数，称为Φ-Amemiya范数:

利用Φ-Amemiya与Luxemburg范数等价，很容易得{LΦ,Φ1,‖·‖ΦΦ,Φ1}是Banach空间。

定义4x∈S(X)称为端点是指

定义5称N-函数满足Δ2条件是指存在k>2，u0≥0满足：

Φ(2u)≤kΦ(u) (u≥u0)

2 主要结果及证明

先引入两个记号:

|x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≥1}

|x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≤1}

定理1当且仅当k∈[k*,k**]时，

D(x)={0

取x∈LΦ,Φ1{0}，D0(x)为D(x)的内点集对∀0

所以对∀k∈D0(x)函数

按通常数学分析规则可求得：