罗来珍, 李兴华, 陶元红

(1.哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080；2.浙江科技学院 理学院/曙光大数据学院，杭州 310027)

0 引 言

表示理论在数学中具有极其重要的作用，正如数学家盖尔范德(Izrail Moiseevich Gelfand)所说，所有的数学都是某种表示理论。而有限群表示论是有限群论的核心内容，也是研究有限群结构最强有力的工具之一。有限群表示论是在代数和数论的研究中产生的，后来发展成为数论、代数、几何和分析中的重要工具[1]。随着代数学的不断发展和完善，而后产生各种表示，如群表示、代数表示，而且表示论自身已成为独立的数学分支。群表示论在很多领域都有应用，例如群表示论在直积网络中[2]、在对称系统控制[3]以及在群结构[4]研究等方面都有重要应用。酉群作为重要的一类群，有很多的相关研究[5-10]，本文主要研究一类酉群的子群生成的代数结构，它对于建立酉群和置换群的Schur-Weyl对偶有重要意义。

设H是一个Hilbert空间，B(H)表示其上有界线性算子全体构成的集合。设M⊆B(H)，M′为M的交换子，即H上与M 中每个算子可交换的有界算子全体，记作

M′={M′∈B(H):[M,M′]=0,对任意的M∈M′}

显然，M′是包含单位元1的Banach算子代数。 若M是自伴的, 则M′是H上的C*-代数，从而有

M⊆M″=M(iv)=M(vi)=…

M′=M‴=M(v)=M(vii)=…

定义1[12]H上的von Neumann代数是指B(H)的*-代数使得

M=M″

任给B(H)的一个子集{Aλ:λ∈Λ}，由其生成的von Neumann代数为Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})，即

{Aλ:λ∈Λ}″=Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})

设U(d) 为一个酉群，K是群H≤U(d)的子群，子群K的中心化子记作CH(K)，是指群H中与子群K中任意元素可交换的全体元素构成的集合，即

群H的任意子群的中心化子也是该群的子群，即CH(K)≤H。

设G为酉群U(d)的任意子群，C(G)表示G在U(d)的中心化子，C(G)的中心化子记作C(C(G))，则有G⊆C(C(G))。……