李若诗，李坤凌，秦 涛，李清都

(1.湖北文理学院 机械工程学院，湖北 襄阳 441053； 2.重庆邮电大学 自动化学院，重庆 400065)

0 引 言

多足机器人是现在使用最普遍的机器人之一。由于足式机器人在运动时只需要离散的点接触地面，因此其可以更好地适应复杂的地理环境[1]。目前常见的多足机器人有三足机器人[2-3]、四足机器人[4-5]、六足机器人[6]等。三足机器人属于一种特殊的多足机器人，相较于双足机器人来说具有超高的静态稳定性，相较于其他多足机器人又具有结构简单的优点。笔者研究一种仿生的轻型三足机器人，讨论三足机器人单腿运动学建模，并分析机器人足尖工作空间，为机器人行走步态规划与运动控制算法奠定基础。

1 三足机器人结构设计

1.1 三足机器人整体结构

三足机器人的设计结构[7]如图1所示，主要包括机身和腿部两大主体结构。机身主体为铝合金材质，为双圆盘结构，可以减少步行足转动的阻碍。腿部由碳纤维管制成，三条腿之间相互成120°均匀分布在双层圆盘内侧边缘处，可以减少机器人腿之间的相互干扰，简化步态规划难度。在机器人的机身转节、髋关节和膝关节处分别装有伺服电机，分别控制机器人腿部的横向转动、伸缩和摆动。通过控制三个关节的相应操作，来实现三足机器人的前行、转向和避障等多种运动模式。机器人足部使用弧形橡胶脚套，保证机器人可向任何方向倾斜、更方便地接触地面并起到防滑的效果。

图1 三足机器人结构模型

1.2 自由度分析

自由度分析是机器人运动分析基础，机器人自由度可由Kutzbach Grubler 准则可得：

(1)

式中：F为自由度数；N为连杆数量；G为关节数量；fi为第i个关节的自由度。

当三足机器人稳定站立时，假设足尖与地面的接触点允许转动但不发生滑动，视为球铰，可将三足机器人和地面构型简化为一个空间并联机构。此时，三足机器人共有9个转动关节、3个球关节、11个连杆。则此时机器人自由度为：

F=6(11-12-1)+3×9+9×1=6

当三足机器人抬起一条腿运动时，共具有6个转动关节、2个球关节、8个连杆。代入公式(1)可得此时机器人自由度为：

F=6(8-8-1)+3×2+6×1=6

综上可见：三足机器人处于任意步态下都具有六自由度。

2 三足机器人建模

2.1 机器人运动学建模

运动学建模是三足机器人步态规划与运动控制的前提，通过运动学模型可求解三足机器人的关节角度与坐标的映射关系。三足机器人的三个腿完全一样且对称布置，以其中任意一条腿为例，单腿简化模型如图2所示，采用D-H(Denavit-Hartenberg)法进行运动学建模[8]。

图2 三足机器人单腿简化模型

根据D-H参数及坐标系建立规则，建立单腿坐标系如图2所示，D-H建模参数如表1所列。

表1 D-H建模参数表

根据D-H法齐次变换，由图2可得单腿各连杆的变换矩阵分别为：

(5)

将式(2)～(4)各连杆齐次变换矩阵相乘，得到末端足尖相对于基座标系的齐次变换矩阵为：

(6)

计算求解上式可得，单腿正运动学方程为：

(7)

式中：si=sinθi，ci=cosθi,si+j=sin(θi+θj)，

ci+j=cos(θi+θj)。

将三角函数和差角公式代入方程组(7)，并求解可得单腿逆运动学方程为：

(8)

式中：M=pxc1+pys1-L1

2.2 足尖工作空间分析

三足机器人足尖工作空间是指机器人足尖能达到所有位置空间点的集合，也是逆向运动学解存在的区域，是后续步态规划的重要理论参考。根据前文运动学建模分析，采用MATLAB Robotics-Toolbox工具箱建立单腿仿真模型分析足尖工作空间。根据三足机器人的实际设计尺寸，仿真模型参数取值为：L1=97 mm，L2=190 mm，L3=180 mm，限制各个关节转角范围为：θ1∈(-60°，-60°)，θ2∈(-90°，0°)，θ3∈(-90°，0°)。仿真可得三足机器人足尖工作空间如图3所示。

图3 三足机器人足尖工作空间

分析三足机器人实际模型，结合图3仿真分析结果可以看出，机身转节范围整体在X轴正半轴呈现扇形，同时由于胯部长度小于大腿长度，在X负半轴呈现小扇形，与图3(a)所示相符。由于髋关节和膝关节角度限制小于0°，故Z轴正半轴无法打达到，与图3(c)所示结果相符。

3 结 语

依据仿生学原理设计了一种新型的三足机器人，分析了机器人的自由度，采用D-H法对机器人单腿模型进行运动学建模与求解，最后根据运动学建模结果，采用MATLAB Robotics Toolbox工具箱对机器人足尖工作空间进行数值仿真分析，为后续三足机器人步态规划与运动控制奠定了理论基础。