宋宝宏

北京市市政工程设计研究总院有限公司 100082

引言

对软弱土层地基进行处理是工程中常见的问题，通常可采用桩基础或者复合地基形式，以提高地基承载力。CFG桩是近年来兴起的一种复合地基处理模式，对于软弱土层的处理较为常见，因为有着经济方便的特性，有着较为广泛的应用［1］。

复合地基的地基承载力由桩间土及桩本身共同作用，CFG桩布桩时采用桩径、桩间距、桩长及褥垫层厚度等不同参数组合［2］，会得到不同的设计承载力。在工程应用中，通常选用常见的布桩参数，经计算满足设计承载力即可，这样往往导致没有选择出最佳的设计方案，造成材料不必要的浪费。在讲究安全性的同时，应采用合理的计算方法或模型，来得到最佳的设计方案，所产生的工程量最小，满足经济的要求。

Lagrange数乘方程在求解复杂的多元函数极值时，有着极为广泛的应用。基于此，本文引入Lagrange数乘方程，应用于CFG复合地基的优化设计，得到最佳的布桩设计参数。

1 Lagrange数乘法

Lagrange数乘法基本原理是在求解N 个变量的多元函数极值时，通过引入k 个变量限定条件，建立N+k 个联立方程组，从而求解方程组极值［3，4］。具体求解过程如下：

（1）建立需求解的极值目标u 与N个自变量（X1，X2，X3，…，XN）之间的函数关系，得到u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）。

（2）确定k个自变量（X1，X2，X3，…，XN）集合的限定条件，并建立K 个方程gi（i ＝1，2，…k）（X1，X2，X3，…，XN）＝0。

（3）引入K个Lagrange系数λi（i ＝1，2，…，k），建立Lagrange数乘方程：

（4）再求Lagrange 数乘方程（1）各自变量的偏导数，并建立联立方程组：

求解方程组（2）得到的解（X1，X2，…XN）即为目标函数的极值。通过代入便可得到目标函数u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）的最优解［5］。……