陈炳泉

(福建省仙游县华侨中学 351200)

函数与导数及其应用在高中数学的学习中占有举足轻重的地位，并且与其他知识点融合性强，近几年的高考中，对函数与导数及其应用的考题屡见不鲜且常考常新，较为全面地考查了数学学科核心素养.

含参数的不等式恒成立，求解参数范围，解题的一个基本方法是以函数的视角来考虑与解决问题，本质上是将其转化为函数最值或函数值大小比较的问题.本文以2020年新高考I卷(山东卷)数学第21题为载体，探讨含参不等式恒成立问题中参数范围的常见解题策略.

1 试题再现

(2020新高考Ⅰ卷(山东卷)数学第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna,

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(解略).

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

1.1 常见解法

本题是考查函数与导数的应用，涉及到与函数相关的不等式证明问题、利用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点等问题.着重体现了对数学学科中逻辑推理以及数学运算核心素养的考查.此类问题解法灵活多样，如，必要性探路法、分离参数法、含参分类讨论法等等.

解法1：必要性探路法

必要性：由题可知，必有f(1)=a+lna≥1.因为g(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=1，所以a≥1.

充分性：当a≥1时，

f(x)=aex-1-lnx+lna

≥ex-1·1-lnx+ln1=ex-1-lnx.

又因为ex-1≥(x-1)+1=x，

-lnx≥-(x-1)=-x+1.

当x=1时，上述两个不等式同时取等号(证明略)，

所以ex-1-lnx≥1.

综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

解法2：分离参数法

f(x)=aex-1-lnx+lna

=elna+x-1-lnx+lna,

要使f(x)≥1也即elna+x-1-lnx+lna≥1，

即elna+x-1+lna-1≥lnx,

即elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(t)=et+t，(t∈R)故只需

g(lna+x-1)≥g(lnx)即可.

因为g(t)是增函数，

所以只需lna+x-1≥lnx.

故f(x)≥1⟺lna≥lnx-x+1.

令h(x)=lnx-x+1(x>0)，

则只需lna≥[h(x)]max.

x∈(1,+∞)时，h′(x)<0.

所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.

则有h(x)max=h(1)=0.故lna≥0所以a≥1.

即a的取值范围是[1,+∞).

解法3：含参分类讨论

因……