欧桥

【摘要】本文探究了波利亚解题理论在中学数学解题教学中的应用，介绍了波利亚的“怎样解题表”，结合新课标浅谈波利亚解题表的意义，从波利亚解题四阶段出发分析中学生解题常见错误类型，借波利亚解题思想帮助学生掌握解题的方法，培养学生解决问题的能力，让学生能够熟练运用波利亚解题理论对问题进行思考从而解答问题.

【关键词】波利亚解题理论;解题错误;培养解题能力

1 波利亚的“怎样解题表”

1.1 波利亚的简介

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚是美国科学院、法国科学院和匈牙利科学院的院士.1940年移居美国，并担任布朗大学和斯坦福大学教授.他长期从事数学教学工作，在数学领域内有着极深的造诣，其在数学教育方面的成就对我国的数学教学改革及数学教师的培养与培训具有重要的指导意义.最著名的作品分别是《怎样解题：数学思维的新方法》《数学的发现》《数学与猜想》，这些著作被翻译成各种语言，并且广泛传播于各大高校，其中《怎样解题：数学思维的新方法》一书更是被译成了17种文字，仅平装本就销售了一百万册以上.其著作中的“怎样解题表”以文字的形式揭示了人们在解答问题时的思维形式和思维过程，为解题指明了大概方向，使得解题有法可依.

1.2 新课标背景下，“怎样解题表”的意义

新课标提出：学习者在获得知识技能的过程中，只有亲身参与了教师认真设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度这三个方面得到应有的发展.在数学教学活动中，解题是最主要的活动形式之一.教师必须通过解决问题的教学来让学生获得数学思维的发展，并借此培养技能及发展学生的智力.波利亚的“怎样解题表”为我们提供了解决问题的有效途径.解决问题的本质就是不断改变问题，从而引发灵感.对于中学数学来说，解题就是要不断创设新的问题情境，借用新的情境来激发学生的思维，从而进一步得到正确的答案.波利亚的解题理论还指明了对数学问题解决活动具有重要意义的思维模式，如合理的推理模式、笛卡儿模式、递归模式、叠加模式等.教师可以使用“解决方案”中的思想来指导学生将现有问题转换为类似或更具体的问题，让学生自己去探索，充分发挥他们的主体作用，提高他们解决问题的能力，从而更好地体现新课程理念.

2 从波利亚解题四阶段看中学生解题常见错误

在数学的学习及解题过程中，数学自身的性质——严谨性、科学性使学生在解题过程中都会或多或少地产生错误，这是难以避免的，也是情有可原的.因此，对错误进行系统的分析和研究就变得十分重要且必要，下面笔者将对实习中所带班级学生的作业中的错误情况进行分析.所给的案例是笔者在丽水市外国语学校实习期间的上课内容，两个班学生的作业都是笔者亲自批改的，对两个班学生的做题情况有大致掌握，对错误率最高的一些题目也看了每位学生的解题过程，并与他们有过交流沟通，对他们的解题思路与过程有一定的了解.

2.1 理解题目阶段

理解题意即了解问题，是解题的基础.学生在将所给的题目语句转化为数学语言上总存在一些困难，有时容易曲解题意，有时对文字较多的题目的处理会抓不住重点，无法挖掘文字背后的数学含义.例如在解答二次函数问题时，对自变量取值范围的考虑要求学生不仅要知道数学意义上的范围，还要综合考虑它所代表的实际意义.

案例1 抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

正确答案是C，易错选项是B.这是一道非常简单的基础题，在批改作业时发现班级里有三位学生做错了，理由是题目中问的是与坐标轴的交点，即x轴、y轴，他们却想当然地只算了x轴上的交点而忽视了y轴.在二次函数专题大多数讨论的都是x轴上的交点，这使得他们对于坐标轴中的x轴更敏感.这种错误就是没有审清题目导致的.

2.2 拟订方案阶段

波利亚认为在四大步骤的解题全过程中这一步是最重要的也是最困难的，因为在探索一道题的解题途径中如果最后证实这个方案是错误的，那么就又要回到这一环节重新拟定.在这一阶段里学生对题目的处理会出现以下几种常见错误：分类不当、没有数形结合的观念、缺乏整体意识、受思维定式的影响.

案例2 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，对称轴为x=-1，下列四个结论正确的是（ ）.

①4ac-b2<0;

②3b+2c<0;

③4a+c<2b;

④m（am+b）+b

正确答案是①②④.在统计错题时发现很多学生无法判定④是否正确，这里重点分析④的判定，首先根据给出的图像我们能得到的信息有：a<0，b<0，c>0，经过与学生的交流，笔者发现他们的疑惑是不能理解m（am+b）+b表示的意思，这里其实用到的还是数形结合思想，我们发现将x=m代入解析式中会得到am2+bm+c，将式子变形一下得到m（am+b）+c，这与④中的式子已经有很大的相似之处了，将④式左右两边同时加上c，得到等价不等式m（am+b）+b+c

2.3 执行方案阶段

在这一阶段，有些学生不能进行等价转换，在证明题目时容易陷入循环论证的死胡同里，更多的学生（这里尤指低年級学生）容易犯些非智力因素的错误，比如：计算粗心，作图随意等.在实习期间，笔者也在初二班级旁听过程中发现在合并同类项时总有学生出现合并错误，不是次数出错就是单项式抄写出错.

案例3 若二次函数y=x2+mx图像的对称轴是直线x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）.

A.x1=0，x2=6 B.x1=1，x2=7

C.x1=1，x2=-7

D.x1=-1，x2=7

正确答案是D.这道题是一道基础题，更多的还是检验学生的计算能力.班级中有3位学生错选了C，从选项中看C与D十分相似，这也意味着出题人知道学生在解题时会在某一步骤出错从而得出与正确答案一步之遥的错误答案.通过询问学生得知，他们出错是在将x2+mx=7化成x2+mx-7=0之后，用十字相乘法进行因式分解这一步.

2.4 回顾与反思阶段

张奠宙教授在《数学教育概论》一书中提道：与前两个阶段相比这一阶段是最容易被忽视的阶段.大多数学生在解题后缺乏检查的意识，但是在数学的解题过程中，解题者不重视检验导致的功亏一篑现象时有发生，这就告诫我们为了保证解题的正确性，检验是很重要的.也有学生不善于回顾检验导致解题错误的，有的时候由于思维定式的束缚，他们仍然按照原来的解题思路进行验证检查，因此当问题出现在方法上而不是在具体运算上时，他们很难察觉出错误.对此，在日常教学中，教师须有意识地要求学生养成答完题再去回顾的习惯，并且要尝试用多种方法、从多种角度去进行检验.回顾是最容易被人们忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节固定下来，是一个非常有远见且正确的做法.回顾反思不仅仅是检查这道题做对了没有，更重要的是学会总结，总结做题方法、做题思路，在日后的学习中是否能用到今日所学内容，又能否将所总结的结论推广到其他类型的问题上，这才是波利亚解题理论第四阶段最重要的学习目的.

3 波利亚解题思想的反思

波利亚的“怎样解题表”中的问句、提示语都是一种引导，是用来促发念头的.在解题时最难的往往是对一道题目毫无思绪不知如何下手.这时，任何一个有可能对解决问题有指引作用的问题都是对我们有帮助的，它可以引起我们继续思考下去的兴趣与信心，可以使我们继续探索.

波利亚的解题思想为中学数学思想方法的教学提供了一种理论模式.波利亚的解题思想并不一定很明显地表现在数学教材之中，在大多数情况下，它是隐含于数学知识和解题过程中的.因此若要以让学生更能接受的方式展示出来，则需要教师通过对教材的钻研来提炼和概括.

波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会中学生思考”.教会他们去思考就要求数学教师不能只是简单地传授知识，还应努力培养学生在更广的范围中运用所学知识的能力，培养他们的自主意识.教师应该强调学习解题的技能技巧、教会学生有益的思考方式和理想的思维习惯.提高学生的数学解题能力是一项持续时间长且实施有难度的工程，这不仅与学生的知识背景、智力水平有关，也与学生的学习态度、学习方法有关，还与教师的教育思想、教学能力、教学方法、知识水平密切相关.因此每位教师都应该学习波利亚的解题理论，并在教学中教会学生如何思考问题、解决问题，从而培养他们良好的数学思维，提高他们的解题能力.教师对学生的错误要充分发挥自己的教学智慧，去挖掘學生在错误中体现的问题，因势利导，使学生由失败走向成功，给予他们学好数学的信心，让其体验和享受成功解题带来的乐趣，从而爱上解题、爱上数学.

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