数形结合思想研究

2021-05-06崔亚澜

数学学习与研究 2021年7期

崔亚澜

【摘要】数形结合的思想方法在整个中学数学的知识领域中应用颇为广泛，是学习数学课程的主线之一，不仅可以作为一种解题方法，还可以提高学生分析问题、解决问题的能力.它是一种数形之间信息的转换方法，根据具体情况，把图形性质问题转化为数量关系问题，用代数方法分析数量关系从而解决直观图形问题，或者将数量关系用图形直观地刻画出来.本文通过对相关的论文文献进行研究分析，归纳总结出初中、高中数学中数形结合的应用，从数轴、韦恩图、不等式、函数、立体几何等多个方面进行探究，整理数形结合思想在解题中的具体应用.

【关键词】数形结合思想;中学数学;归纳总结

一、数形结合概述

（一）数形结合思想的发展由来

“数”原本只是计数的工具，而如今除了这种用途外，还可以用来表示数量;“形”在古时代表形状，如今用来代表空间形态.

在我国，“数形结合”的源头与著名数学家华罗庚先生有着相当大的关系.他的作品：《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中的一首小词中体现了该思想.

在西方，提到数形结合就要提到笛卡儿.学习了数学史的人多多少少都听过笛卡儿坐标系，也就是现在的直角坐标系，就是由法国人笛卡儿创立的.可出乎想象的是，这个巨大的发现是他躺在床铺休息时得到的.他由于生病卧床不起，闲着无事就继续思考让他煎熬了数日的一件事.无意间的一瞥，出现在天花板上的小蜘蛛激起了他的思绪浪花.小蜘蛛在墙角缓缓地爬着，忙忙碌碌的，从东往西，又从南往北.那么结完网，它走了多少路呢？笛卡儿就试着去想怎样才能算出蜘蛛这一路的旅程数.首先他把蜘蛛当作一圆点，接着反问自己圆点距离墙角的距离.离墙的两边会有多远呢？他闭上眼睛继续睡着，睡梦间他似乎瞥见小黑点离两邊墙的距离忽大忽小……他似乎悟出了些什么，睁开眼，豁然开朗：倘若明确圆点位置和两墙间间隔，就能决定蜘蛛的位置了.明确之后，蜘蛛的位移就可顺理成章地解得.于是，一个定理生成了：

彼此垂直的两条直线，一个点可以用到这两条直线的间隔，也就是用两个数来表示，这个点的位置就定了下来.

这个发现对于如今的我们来说并不少见，这不就是我们非常熟悉的坐标图吗？这既是数与形的联系的首次出现，也是初次用数形结合的手法将代数与几何联系起来，打开了解析几何学初级阶段的大门.接着，就是费马对解析几何的贡献.他用代数方法对古希腊几何学进行剖析，特别是对阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究.他曾提到的基本观点是两个未知量x，y确定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以刻画出一条直线或曲线，就这样，他的研究方向由方程进化成圆锥曲线.沿着这个思路继续下去，在众多数学研究者的全力探索研究下，数学的发展进程发生了变化，解析几何学终被创建出来.

数形结合的思想从那时起就出现了，打开了数形结合思想发展的大门，进入了早期研究初级阶段.

（二）数形结合内涵

数与形的转化目标是呈现“形”的动态性和直观性，“数”的思想的科学性及严谨性，两者互相渗透、互相影响，抓住优点、因势利导，从而解决问题.

数与形不能割裂开来，要把数或数量关系与图形运用一些关系连接起来，经过对图形的钻研分析数量关系或用数量来升华图形的性质.数形结合是一种典型且非平凡的数学思想方法，将抽象问题具体化，复杂问题简单化是它最直接、最基本的功能.数形结合是凭借数量和图形之间的联系来领会研究对象的数学特性、探求处理难点问题的一种数学方式.一般情况下，在使用数形结合思想解题时，常常侧重于“形”对“数”的反映，也就是要频繁的活用图形的简明直观来完成对某些或某类数学问题的处理.所以数形结合思想可以形象地、直观地、快捷地帮助表征问题、理解问题.

数形结合的根本要点，便是由几何图形的性质来构建数量上的联络网点，反过来，数量关系又制约着几何图形的特殊特性点.

数形结合是数学的首要特性，万事万物皆是数形间的和谐辩证的统一，而非独立对立的.故在数学学习中抓住数形结合思想就等于实实在在地握住了数学的精华和要领之处.

从许多对数形结合思想的深入钻研能够看出数形结合有很多优点：可以帮助我们直观地理解数学问题;把问题简洁明了地呈现在我们面前;有利于我们提出突破性的想法，培养发散思维.但世上的一切都要持辩证客观的思想考虑，因此这个思想就有利有弊.它的缺点是缺乏准确性和整体性，不能够全方位的表征问题，而且它并不能够在数学问题之间画等号.

数形结合的应用概括下来大致可以分为两种情形：

第一种是用形的生动性和直观性来呈现数之间的联系，等于是将形作为工具，数作为需要解决的目标;第二种是通过数的准确性和严谨性来表现形的某些特殊属性，等于是将数作为工具，求得形的关系为目标.

本文侧重探究综合概括初中、高中数学中种种数学题型中出现的“数形”互相转换的应用.

首先来到初中，总结的是以下三个方面体现的数形结合.

二、初中数学中应用的数形结合思想

（二）几何中的数形结合

【例1】有两棵树，一棵高为6米，另一棵高为2米，两树之间间隔5米，小黄鸟从第一棵树的树梢飞到第二棵树的树梢，至少飞了多少米？

【分析】解决这道题就是将实际问题转化为数学问题，构建数学模型，按照题目条件画出图形（如图3所示），再用勾股定理求出AB的长即可.

与初中数学相比，高中数学的学习也是一样的，对函数思想、微积分思想等需要站在数学内部领域去看待数学思想，而对空间形式和数量关系结合产生的问题就需要站在更感性的位置去看待.接下来，我们再来看看高中数学中数形结合思想的应用.

三、高中阶段数形结合思想的应用

高中阶段的数学知识中广泛运用了数形结合思想，下面笔者对一些高考数学题进行总结归纳.

根据我国历年来各地的数学高考试题总结发现，有下面几类数学问题.

（一）应用韦恩图（Venn图）来解决集合问题及数轴的应用

上题根据图形来解决，把求阴影部分集合的问题转化为求两个集合的交集问题，将繁难的问题简化了.

（二）数形结合思想在函数中的应用及直角坐标系的应用

【例1】f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值记为h（t），求h（t）的表达式.

【分析】先分析函数f（x）=x2+3x-5图像的对称轴与区间的位置关系，再探究函数图像在x∈[t，t+1]上的增减状况，接着明确在什么地方能够取到最值，最小值具体是多少.

【解析】直接计算比较烦琐，可利用数形结合思想来解题.观察该式，可以发现这个式子的结构和计算直线斜率公式的结构相似，故把它当成计算过点A（sin 20°，cos 20°）和点B（sin 40°，cos 40°）的直线斜率.如图8所示，∵∠BOM=∠BOA=20°，且OA=OB=1，∴∠OAM=80°，∴∠OMA=60°，∴直线AB的倾斜角为120°，∴其斜率为tan 120°=-3，即sin 20°-sin 40°cos 20°-cos 40°=-3.

利用三角函数的本质定义，将三角问题放到单位圆中去解决.可以把计算三角函数值一类的难题转换成求直线斜率的问题.

（三）依据式子的结构，数形结合方式解决数学概念及数学表达式几何意义的应用

结合椭圆的定义得出点M的轨迹是一个椭圆，其中确定a，b，c的值是突破点，继而求点M的轨迹方程式.另一个办法是可以根据原有方法设点、找等量关系、化简来获得轨迹方程.

四、总结

（一）数形结合思想的意义及价值

数形结合的思想方法贯串于整个数学体系中，从儿童时期教师利用直观的图形及实物来教学，到中学时代中考、高考题中极为广泛的应用，再到大学甚至之后的数学知识学习中，都涉及此方法.它是对数学进行研究学习的主要线索之一，不仅是一种解决数学题的思想方法，还是能够让我们深化学习、探究和研究数学的强有力手段、工具，能够培养我们的思维能力.数形结合思想紧握“数”“形”这两个数学中的精髓要点，直观的冲击让我们形成对事物的感性认知，扩大自己的表征储备，为我们内化定义概念和性质做铺垫.我们对事物的了解、研究、探究大多都是由图形作为起点展开的.数和形的相互渗透连接既是数学本身发展所必需的，又是学习数学知识的需要.

对数形结合的较深的理解就是“转化思想”，所以我们在使用时要注意：第一步，要真正弄清楚概念的实质特性和运算的几何意义及曲线的代数个性等，并且对数学题目中给定的已知信息进行分析深化;第二步，需要做出恰当的假定，即设参数，用参数来联系生成条件关系，完成数与形之间的转换;第三步，精确的利用数形结合解决问题.

（二）数形结合思想的新发展

本篇论文说的是数形结合这种思想方法在数学中的应用，这仅仅体现了它的冰山一角，在其他的学科中数形结合思想同样有非常广泛的运用.数形结合也为推动学生的发散思维发展铺设了新的道路，能够提高学生的思维水平.

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