冀庚

【摘要】无理函数的不定积分是高等数学中的核心内容之一，根式换元是无理函数积分的一种重要方法，而根式换元的难点是判断能否有理化及如何有理化.本文利用契比雪夫定理给出了一类无理式可以有理化积分的判别方法，并给出了有理化时如何作换元有理化的方法.

【关键词】 契比雪夫定理;不定积分;换元积分法;有理化

高等数学教材中有大量的形如∫xm（a+bxn）pdx的不定积分，其中，对n=2，p=12，m为整数的情形，教材中给出的三角换元法，学生基本可以掌握，但对于一般情形的∫xm（a+bxn）pdx，教材通过个别例子给出了根式换元的方法，学生虽然有了根式换元的思想，但在解决这类积分时仍会遇到两个问题，一是不能确定是否可以用根式换元，二是不知如何选择换元关系才能顺利有理化，本文介绍的契比雪夫定理主要解决这两个问题.

一、契比雪夫定理

定理 不定积分∫xm（a+bxn）pdx（m，n和p为有理数），仅在下列三种情形可化为有理函数的积分：

（Ⅰ）p为整数时，設x=tN，其中N为分数m，n的公分母;

（Ⅱ）m+1n为整数时，设a+bxn=tN，其中N为分数p的分母;

（Ⅲ）m+1n+p为整数时，设ax-n+b=tN，其中N为分数p的分母.

二、契比雪夫定理的应用

综上，对于∫xm（a+bxn）pdx这类不定积分，只要符合契比雪夫定理中的三种情形，通过定理中给出的换元方法，都可以实现被积函数有理化，所以，对于被积函数为无理函数的不定积分，契比雪夫判别法很有效.熟练掌握该定理的应用，可以避免无效的换元，不走弯路.比如在例3中，学生遇到这类积分，往往会设41+x4=t来换元，代……