解家江

【摘要】数是事物的特定属性的量值的形式表示.从自然数到实数再到复数，是数从离散到一维再到二维的拓展.为了用一个数表达事物多个属性的量值，将复数概念推广，比拟欧几里得几何，即得到多维欧几里得数和多维非欧几里得数的概念，由此产生了多维欧几里得“數空间”和多维非欧几里得“数空间”，并引申出多维欧几里得数和多维非欧几里得数的基本运算规则.

【关键词】多维欧氏数;多维非欧氏数;数空间

一、数的发展简史隐含数的多维化趋势

数，是日常生活中不可缺少的，更是自然科学之父，然而远古人类是没有数的概念的.远古人类对数只有模糊的认识，最初形成“有”和“无”的概念，随着 “有”“无”概念逐渐加深，在对劳动成果的食用、比较中，感觉到某天猎获的食物不够吃，某天猎获的食物足够吃或有剩余，便又逐渐产生了“多”和“少”的概念.最早至旧石器时代的晚期，随着人类劳动的复杂化、语言的产生、智力的快速发展，人类“数”的概念终于觉醒，人类识别出了猎物、食物以至自身的一个又一个独立的个体，并认识到它们“有数量”，进一步尝试表达、记录这种“数量”，或是用结绳计数，或是用树枝划线、画图形计数.《易经》记载，上古时期的中国人曾“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数，美索不达米亚人和埃及人也以同样的方式建立了最早的书写自然数的系统，在树木或石头上刻痕划印来记录流逝的日子，都用单划表示“一”，这样逐渐产生了“1”“2”“3”等数量的概念，这也是自然数概念的雏形.大约在1万年前，人类尤其是中东地区的部落开始了农耕生活，他们碰到了“如何记录日期、季节”“如何计算田地块数、大小”“如何计算收藏谷物数、种子数”等问题，这就要求数要有名称，而且计数必须更准确些，只有“一”“二”“三”“多”，已远远不够了，他们尝试以符号代替刻痕.为了记录事物很大的数量，古人很早就发明了进位制.所以数起源于原始人类的生活所需，各种表达、记录自然数的符号，是人类最伟大的发明之一.而这种符号系统中最好用、并被世界各地普遍接受的是阿拉伯数字，阿拉伯数字起源于印度，是公元3世纪由印度的一位科学家巴格达发明的，经由阿拉伯人传向四方.有意思的是，“0”这一神秘、重要的数字，也是印度人对哲学“绝对无”思想做深入思考后的发明.至此，自然数及其表达符号系统（阿拉伯数字）已经完整的产生了.

不过由于食物、用品分配的需要，古人发现，仅仅有自然数是远远不行的，比如：7个人一起狩猎得到一只野羊，如何分配？一位母亲手中有一个大玉米棒，她有2个子女时，她可能无意识地就将玉米棒掰成较均匀的2部分.这样的行为反复冲击古人的思维，久而久之，分数概念就产生了.

再后来，经过观察、思考，人们又发现很多表达事物性质的量值具有相反的意义，比如增加和减少、向上和向下、向前和向后，为了表达这样的量，人们又发明了负数.于是正整数、负整数、正分数、负分数和0，就形成了有理数.

在古代，对有理数的研究无疑是古希腊毕达哥拉斯学派最为出色.但又是毕达哥拉斯的一位弟子希帕索斯的研究成果给毕达哥拉斯学派的数学大厦带来了危机.希帕索斯和学生画了一个边长为1的正方形，但是这个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则其对角线的长不是一个有理数）.虽然这条对角线就实实在在地呈现在人们眼前，可它的长度是多少呢？又该怎样表示呢？最后希帕索斯认定这是一个从未见过的新数.这就是后来人们命名的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，是无限不循环小数.不过这一发现给希帕索斯带来的不是荣耀，而是灾难，这类数的性质与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，导至最后希帕索斯被沉船处死.

尽管如此，无理数的发现还是传播开来并得到大家认可.数学家通过对无理数和有理数进行整理，就形成了实数.在这一过程中，数学家发现，人类发现的数字已浩如烟海，已从零星发展到密集，从分散发展到连续.于是，16世纪的数学家笛卡儿用数轴将实数可视化，把每一个实数填入数轴中的每个点.

实数系统并没有给快速发展的近代数学提供坚不可摧的支撑，“x2+n=0”这类方程（n为正数），就曾使徘徊于实数系统中的数学家不知所措.天才数学家高斯为使方程“x2+1=0”有解大胆地引入了“i”这个虚数单位，不仅使方程得解，并且将数这一庞大系统扩展到复数，即实数和虚数构成复数.在此基础上建立了复平面的概念.

回顾人类对数的认识，我们不难得出：数的本质是已被限定范围的事物的特定属性的量值的形式表示，当给出一个数，这个数不仅反映了一事物某属性的量值，而且也隐含了该事物的质，例如“2cos θ+36sin θi”在物理上就能表示电流的性质，清晰而简洁.数的产生、发展伴随着人类的进步，人类对数的认识从自然数发展到了复数[1].下面尝试对复数这一表达方式进行拓展，引入数的多维表达方式，通过多维数来表达一事物不同性质的多方面的量值的大小.

二、数的一维、二维化表达

在数的不断认识和应用中，为了使数形象化、直观化，笛卡儿为我们引入了数轴这一工具.在数轴上表示自然数，为：0，1，2，3……它们是离散的，很明显各相邻的自然数之间有等长空隙;认识分数后，数与数之间间隔变小;引入负数概念后，数轴在另一方向上无限延伸;发现无理数后，数发展为实数，数轴被填充满[2].于是完成了数的“一维化”.

其后，高斯为了解方程“x2+1=0”，引入了虚数单位i，数便发展到复数，复数表示为：a+bi.

至此，复平面被充满，完成了数的“二维化”.

在这种情形下，数轴是直的，复平面是平的，比拟欧几里得几何，实数、复数可分别称为一维欧几里得数、二维欧几里得数.

三、多维欧氏数

比照空间几何学，再次提高数的维度，引入三维欧几里得数，表达为a+bi+cj，a，b，c为实数.

如果将三维欧氏数形象化，则三维欧氏数均匀地充满三维数空间，向上、下、左、右、前、后平直延伸.三维欧氏数的三个数轴可互相垂直，也可不互相垂直.

使用三维欧几里得数可以方便地表达一事物三方面屬性的大小及其相互间的关系.

为了表述一事物更多方面属性的大小及关系，进一步引入多维欧几里得数.其表达形式为：ai1+bi2+ci3+…+min，i1，…，in相当于数在某维（某数轴）上的单位量值，多维数各个数轴可以互相垂直，也可以不互相垂直，但各数轴是平直延伸的，因而可称这种数为多维欧氏数.

多维欧几里得数均匀布满平直延伸的欧几里得数空间.

四、多维非欧氏数

与多维欧几里得数对应，为了表达一事物多个复杂且变幻的属性的量值及其关系，进一步引入多维非欧几里得数.

其形式为：aj1+bj2+cj3+…+mjn，j1，…，jn相当于数在某维（某数轴）上的单位量值.

对于多维非欧氏数空间，规定：

（1）数空间中的数轴是非平直延伸的;

（2）数空间中各个区域中数的密度不是完全相同的，即密度不是均匀的.

规定（1）的意思是：对于相邻的“数点”A，B，连接A，B两点，作此连线的切线，则与A点或B点最近的点不一定在此切线上.

规定（2）的意思是：如果以σ为半径将数空间分为一个一个的区域，则各个以σ为半径的子数空间区域中，数的“个数”不全相同，有的区域可能有很多个或无限多个数，有的区域可能有较少个数，而有的区域则可能为“空数区域”，即该区域没有任何数.

为了准确地表述多维非欧氏数及多维非欧氏数空间，引入描述数空间非平直（弯曲）程度的一个量γ，和描述非欧高维数密度的量ρ.γ和ρ在多维非欧式数空间中是可变的.

在多维欧氏数空间中，也需要由γ和ρ来表述数空间的特征，只不过这里的γ和ρ被认为是恒量，γ恒等于欧氏数空间中的Ι，而ρ恒为D∞，D∞表示在任意无穷小的区域中数是均匀可数而无限多的.

五、多维欧氏数及多维非欧氏数的大小比较

实数在本质上表达了事物一方面的属性的大小.复数却可以表述某事物的互相区别、互相独立，又互相联系、互相统一的两方面的属性的量值.

对于多维数之间的大小比较，任何低于m维的数都可在m维水平上比较大小，但m维的数只能在不低于m维的水平上比较大小.

对于甲、乙两个m维数，如果甲数的第n（n

这样m维数大小之间的关系便只有在决定了在第几维比较时才有意义，于是数之间的大小关系便没有了绝对性，而只有相对性和相对意义.甲、乙两个m维数，在第n维上可能甲数大于乙数，而在第n+1维上可能乙数大于甲数.数之间的大小关系摆脱了绝对性后，这样的m维数才更具有表达事物“质”和“量”的功能.

六、多维数的初步运算规则

在此讨论最基本的加减法.一般情况下，加减运算都是对事物同质的数量的运算（像欧拉公式V+F-2=E，表达的是立体几何面、顶点、边线之间的不变关系，它不是我们在此讨论的量的运算），如：

3只羊加5只羊，表达为3+5=8，总数为8只羊;

12千克桃加7千克桃，表达为12+7=19，即总数为19千克桃.

但对于4只羊加6只鸡或8千克鸡蛋加9本书需要如何运算呢？对于这种情形，必须从运算的对象中提取出相同的性质、特点，实现“同质运算”，如羊和鸡同属“动物”，则4只羊加6只鸡表达为：

4+6=10只动物.

而8千克鸡蛋加9本书这种情景，要复杂一些，必须先统一计量单位，或将鸡蛋按个计数，或将书本按千克计量，这样我们对二者提取的同质为“固形物”，运算后就能得到总数为N个“固形物”或m斤“固形物”.

而对于3只羊与1群羊相加这样的问题，是有限集与无限集的运算，其运算结果是无限集.诸如傍晚回家的5群羊被赶进一个院子，它们就变成了1群羊，即1+1+1+1+1=1，因为每群羊都可认为是无限集.

由于多维非欧氏数空间的特点，多维非欧氏数运算比多维欧氏数运算复杂，在运算中，必须注意多维非欧氏数密度ρ和数空间曲率γ的变化.由于这一原因，即使多维非欧氏数的加减运算，也比多维欧氏数的加减复杂得多.

【参考文献】

[1]凯莱布·埃弗利特.数字起源[M].鲁冬旭，译.北京：中信出版集团，2018.

[2]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.