钟 霖， 马淑芳， 莱 蒙

(东北林业大学 理学院，哈尔滨 150040)

1 引 言

Myshkis[1]最先发现存在分段连续型的延迟微分方程，Wiener等[2,3]对该类方程解的性质进行了研究。该类方程同时具有微分方程和差分方程的性质，能更精确地描述反馈控制和混沌系统等领域的一些问题，因此受到学者的高度重视。延迟微分方程的解析解不易获得，因此，发展该类方程的数值解研究十分必要。目前，对于该类方程数值解的稳定性、振动性和周期性已有大量研究。文献[4]研究了生态学中自变量分段连续型延迟Logistictic方程的数值解稳定性。文献[5]讨论了非线性分段连续型延迟偏微分方程数值解的渐近稳定性，给出了non-confluent Runge -kutta方法针对标量方程的稳定充要条件。文献[6]运用θ-方法和单腿θ-方法讨论了分段连续型延迟微分方程数值解的稳定性。

近年来，分段连续型延迟偏微分方程也引起了广泛的关注。文献[7]运用Galerkin法研究了分段连续型延迟偏微分方程，证明了在解析解渐近稳定的条件下，半离散和全离散方法的数值解都是渐近稳定的。文献[8]利用θ-方法研究了超前滞后型分段连续型偏微分方程,得到了数值解渐近稳定的条件。

本文考虑如下分段连续型偏微分方程：

(1)

式中t>0,a,b∈R,u(x,t):Ω=[0,1]×[0,∞)→R，v:[0,1]→R，[·]表示最大取整函数。方程(1)为对流-扩散方程，是一类基本的运动方程。该类方程可以描述在以速度为b运动的河流中污染物浓度u(x,t)的变化,其中a2ux x为扩散项，bux x(x,[t])为离散时间的对流项[11]。文献[9]采用θ-格式求解方程(1),给出了格式依赖于网格比的稳定性条件。当……