多维细分算法在仿射空间中的收敛性质

2021-04-28谢华勇

丽水学院学报 2021年2期

关键词：丽水细分面具

谢华勇，程丽

（1.丽水学院幼儿师范学院，浙江松阳323400；丽水学院职业技术学院，浙江丽水323000）

细分算法是用迭代的方法来产生光滑的曲线和曲面，具有内置多分辨率的结构。细分算法由于本身本质上的递归性、数值稳定性和易于在计算机上实现，已成为目前最流行的一种以快速方式产生曲线和曲面的方法。

1 细分算法收敛的相关介绍

且对至少一个初始点集，f不恒等于0。

我们用H表示帽子函数，且当x=（x1，…，xs）T∈Rs时，有ψ（x）=H（x1）…H（xs）。由vk（α）我们得到了一个“多边形”显然，因此细分算法收敛等价于函数fk的一致收敛。另一方面，不妨令a1（α）=a（α），通过面具迭代得我们来看一个特殊的函数δ- 函数：

一致收敛。本文中的细分算法收敛于φ，意味着式（2）收敛于φ。

文献［1-6］研究了由有限面具所生成的细分算法收敛的充分必要条件。由面具所生成细分算法收敛的其中一个充要条件，可以利用联合谱半径来刻画[3，7-8]，然而，有关联合谱半径的判断是NP-Hard 问题[9]；另一个判断收敛的充要条件是求和法则，即：

这个条件很容易被验证。

研究由非负面具所生成的细分算法的许多问题来自计算机几何图形设计，自从第一个B 样条细分算法产生以来，人们对关于非负细分算法收敛性质进行了大量的研究。本文将研究由有限非负面具所生成的多维细分算法在仿射空间中收敛的必要条件。

2 相关引理

对面具｛a（ α）｝而言，如果α∈Γ（a）且，对任意的e∈Es有a（2β-α+e），则我们称有限集合是容许集。

文献［10］给出了由有限非负面具所生成的多维细分算法收敛的充要条件。

引理1[10]由支撑Ω 的有限非负面具｛a（α ）｝所生成的细分算法,满足求和法则（3），则其收敛的充分必要条件是：对任意，对Γ（a）中任何非空合集T和T'，由以下包含关系

推出：T∩T'≠φ。

为了证明的方便，我们给出引理1 的逆否命题。

引理2 由支撑Ω 的非负面具｛a（α ）｝所生成的细分算法,满足求和法则（3），则其发散的充分必要条件是：容许集Γ（a）中存在两个互不相交的真子集T和T'以及一组（δ1，…，δk），其中δj∈Es，对某些k∈N和使得：

对给定的有限支撑上的面具｛a（α ）｝，我们定义集合A（λ）为：

集合A（λ）中元素的个数用来表示。由迭代公式和求和法则（3）可知，对每个λ∈Zs，在集合A（λ）中至少有一个元素，或者进而，由求和法则（3）可推导出：当m=1，2，…，对任意的λ∈Zs，有

（s-1）- 维面Ss-1是［Ω］的表面，当0≤j≤s-1 时，j- 维面Sj是［Ω］中（j+1）维面Sj+1的表面。集合Ω∩（2Zs+δ）中元素的个数用来表示。

文献［11］给出了细分算法收敛的必要条件，描述了面具支撑中点的性质。

引理3[11]令｛a（α）∶α ∈Zs｝是Rs中的有限面具，假设由面具｛a（α ）｝所生成的细分算法收敛于一个连续函数φ。如果当某些λ∈Zs时，，则A（λ）中只有一个元素a'属于Ωα ［Ω ］，且满足φ（α'）=1。进而，当0≤j＜s时，对多面体［Ω］的任意j- 维面Sj有

如果，这个面具｛a（α ）｝是非负的，则存在至多一个β∈Zs满足φ（β）=1，且

为了证明的需要，我们介绍整数集合的可约和不可约等概念（参见［12］）。

定义1[12]设是有限集合，假设ψ 是一个可加映射，满足：ψ（）= 和

如果存在∑的一个非空真子集I，满足，则称ψ 是可约的,否则，称ψ 是不可约的。

和限制在幂集T上的可加映射是不可约的，则我们可以用与Ωk和λ 相应的T来代替可加映射ψ。

3 主要结果

例1 由非负面具｛a（α ）｝所生成的二维细分算法，假设集合Ω∈Z2（见图1）是其支撑，则［Ω］ ∩Zs与Ω 相同，支撑Ω 中共有8 个点：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，满足：a1≡a2（mod2），b1≡b2（mod2），c1≡c2（mod2）和d1≡d2（mod2）。不失一般性，令a1=（0，0）T，a2=（0，2）T，b1=（1，0）T，b2=（1，3）T，c1=（1，1）T，c2=（1，3）T，d1=（0，1）T，d2=（0，3）T。此外，我们选择T1=｛a1，a2，d1，d2｝和T2=｛b1，b2，c1，c2｝。因此T1∩T2= 。当k=1 且λ=（0，0）T，我们得到