赵福垚

(长治医学院生物医学工程系，山西长治046000)

弹性力学是固体力学最基本的分支[1]，其中的应力分析和应变分析事实上可被视作一切固体力学分支的基本范式。此外它是一个非常优美的学科：在理论上，数学弹性力学已经建立了一个比较完整的公理体系；在工程上，土木、材料、机械、航空航天乃至生物医学等工程领域都有着弹性力学的大量应用[2-4]。因为弹性力学基本方程在偏微分方程的分类中属于二阶常系数椭圆型偏微分方程，与调和方程相似，所以两者有很大的联系。在数学弹性力学中，比较常见的一种求解手段就是将某些弹性力学问题转化为调和方程的问题，半空间问题便是其中比较经典的问题之一。传统的弹性半空间(z0)的位移边值问题的提法为(可参见图1)

其中∇为向量微分算子，ν为泊松比，u为位移矢量，是z= 0 处的位移边界条件。求解时可假定式 (1) 的解 (可类比文献 [1] 第十一章§4) 为

图1 弹性半空间边值问题示意图

其中k为z方向单位矢量，f为假设的调和矢量。即

其中∆为调和算子。将式(2)代入式(1)，方程自动满足，z=0 处的边界条件变为

至此，问题(1)就变成了半空间调和方程(3)在Neumann 边界条件(4) 下的求解，也就是本文要讨论的问题。

1 问题的解

考虑到式 (3) 和式 (4) 中的待求量是矢量还是标量并无原则性区别，故这里将待求量和边界条件的写法稍作改动，问题变为

此问题(5) 的解为 (参见文献 [5] 第一章§8)

定理：给定只在有限域上非零的非奇异函数(x,y)，则对于式(6) 成立以下两个命题：