张新华

(西安交通大学航天学院，西安710049)

刚体运动学是理论力学的重要组成部分。无论是刚体运动的速度分析还是加速度分析，均属于重点学习内容。本文试图从场论的观点出发，审视三维空间刚体运动学中的速度场与加速度场，以期在理论体系上对二者的特性进行更完整的表述。

1 刚体运动速度场与加速度场的分解

如图 1 所示，刚体运动过程中，按照基点法其上任一点P的速度可以表示[1-2]为

式中，vB为基点B的速度，ω= [ω1,ω2,ω3]T为刚体的角速度矢量。

P点的加速度可表示为

式中，aB为基点B的加速度，ε=[ε1,ε2,ε3]T为刚体的角加速度矢量。

刚体上所有点的速度与加速度分别构成一个光滑连续的矢量场。根据矢量场的 Helmholtz 分解定理[3]，三维空间中的任何光滑矢量场可以分解为一个无旋场(旋度为0 (零矢量))、一个无源场(散度为0)以及一个平庸场(常矢量场，其旋度与散度同时为零) 三者之和。

图1 刚体运动的速度与加速度分析

对速度场的表达式 (1) 进行分析可知：等式右端第一项vB表示的是基点B的速度。基点选定后，在任意瞬时，其速度对刚体上的其他点而言就是一个不随空间变化的常矢量(亦即平庸场)，其旋度为0，其散度亦为0。等式(1)右端的第二项表示的是一个有旋场，其旋度为2ω。具体推导与论证见第二节。

另一方面，由场论可知，有旋场存在相应的矢量势，有源场存在相应的标量势。据此，刚体运动速度场还可以表示为

式中，Av为速度场的矢量势。刚体运动速度场没有有源场分量，相应的标量势为0。……