张新华

(西安交通大学航天学院，西安710049)

刚体运动学是理论力学的重要组成部分。无论是刚体运动的速度分析还是加速度分析，均属于重点学习内容。本文试图从场论的观点出发，审视三维空间刚体运动学中的速度场与加速度场，以期在理论体系上对二者的特性进行更完整的表述。

1 刚体运动速度场与加速度场的分解

如图 1 所示，刚体运动过程中，按照基点法其上任一点P的速度可以表示[1-2]为

式中，vB为基点B的速度，ω= [ω1,ω2,ω3]T为刚体的角速度矢量。

P点的加速度可表示为

式中，aB为基点B的加速度，ε=[ε1,ε2,ε3]T为刚体的角加速度矢量。

刚体上所有点的速度与加速度分别构成一个光滑连续的矢量场。根据矢量场的 Helmholtz 分解定理[3]，三维空间中的任何光滑矢量场可以分解为一个无旋场(旋度为0 (零矢量))、一个无源场(散度为0)以及一个平庸场(常矢量场，其旋度与散度同时为零) 三者之和。

图1 刚体运动的速度与加速度分析

对速度场的表达式 (1) 进行分析可知：等式右端第一项vB表示的是基点B的速度。基点选定后，在任意瞬时，其速度对刚体上的其他点而言就是一个不随空间变化的常矢量(亦即平庸场)，其旋度为0，其散度亦为0。等式(1)右端的第二项表示的是一个有旋场，其旋度为2ω。具体推导与论证见第二节。

另一方面，由场论可知，有旋场存在相应的矢量势，有源场存在相应的标量势。据此，刚体运动速度场还可以表示为

式中，Av为速度场的矢量势。刚体运动速度场没有有源场分量，相应的标量势为0。由观察可得，矢量势的表达式为

类似地，对加速度场的表达式 (2) 进行分析可知：等式右端aB表示的是基点B的加速度。基点选定后，在任意瞬时，其加速度对刚体上的其他点而言就是一个不随空间变化的常矢量，其旋度为0，其散度亦为0。等式(2)右端的第二项表示的是一个有旋场，其旋度为 2ε。等式 (2) 右端的第三项表示的是一个有源场，其散度为 −2|ω|2。具体推导与论证见第二节。

类似于对速度场的分析，刚体运动的加速度场还可以表示为

式中，Aa为加速度场的矢量势；ϕ为加速度场的标量势。通过观察可知，Aa的表达式为

ϕ的表达式为

2 速度场与加速度场的旋度、散度与梯度

刚体运动过程中，其上各个质点的速度构成一个矢量场，各个质点的加速度也构成一个矢量场。下面分别推导这两个矢量场的旋度、散度与梯度的表达式，并对其力学含义予以阐述。

2.1 速度场与加速度场的旋度

速度场的旋度[4]为

由于vB不随空间变化，其旋度为0。

由式 (8) 可以看出，刚体运动速度场的旋度等于二倍的角速度 (矢量)，这是场论中的一个熟知的结论。

加度场的旋度为

类似于速度场，刚体运动的加速度场的旋度等于二倍的角加速度(矢量)。

2.2 速度场与加速度场的散度

速度场的散度为

式中，vB不随空间变化，所以其散度为 0。ω也不随空间变化，其旋度亦为0。按定义计算可知，r(球对称中心场) 的旋度也为0。

由式(10) 可以看出，刚体运动的速度场是一个无源场。事实上，这也正是刚体的特性之一。如果一个物体运动的速度场是有源场的话，其必然是一个可变形体。

加度场的散度为

由式(11) 可以看出，刚体运动的加速度场是一个有源场。正是这个源项导致旋转刚体出现了离心力。

2.3 速度场与加速度场的梯度

速度场的梯度可以看作是由梯度算子与速度场构成的一个并矢，亦即一个二阶张量，具体表达式为

速度场的梯度是一个二阶张量，而任一二阶张量皆可分解为其对称部分(张量) 与反对称部分(张量) 之和。其中，对称部分表示物质的应变率张量，而反对称部分则表示物质的旋率张量[6]。式(12) 表明，刚体运动速度场的梯度的对称部分恒等于零，反映了刚体不会发生变形这一本质特性；而其反对称部分恰好等于刚体的角速度张量，反映了刚体的旋转运动特性。

加度场的梯度为

由式(14) 可以看出，刚体加速度场的梯度可以分解为一个对称张量·和一个反对称张量之和。其中对称部分反映了三维空间刚体运动过程中相对法向加速度的空间变化率；而反对称部分则反映了三维空间刚体运动过程中相对切向加速度的空间变化率，即角加速度张量。当刚体作平面运动时，式 (15) 就自然地退化为仅与标量ε有关的反对称矩阵，而式 (16) 则退化为仅与标量ω2有关的对称矩阵。

3 结语

本文基于矢量场的 Helmholtz 分解定理，重新审视了三维空间刚体运动的速度场与加速度场的特性，得到了速度场的矢量势以及加速度场的矢量势与标量势。通过考察刚体运动速度场与加速度场的旋度、散度与梯度，揭示了速度场的旋度与角速度矢量的关联性以及速度场的梯度与角速度张量的关联性。速度场的旋度与梯度分别从不同方面描述了刚体的旋转运动特性。刚体运动速度场的散度恒为零，这反映了刚体运动过程中不会发生变形的特性。刚体运动加速度场的旋度与刚体的角加速度矢量相关联，而加速度场的梯度则既与角速度张量相关联，亦与法向加速度空间变化率张量相关联。刚体运动加速度场的散度与刚体的角速度相关联，这反映了刚体运动过程中离心力的来源。