严格对角占优张量的子直和

2021-07-03何建锋

华南师范大学学报（自然科学版） 2021年3期

何建锋

(楚雄师范学院数学与统计学院，楚雄 675000)

矩阵作为代数学中的一个基本内容，已在科学和工程的各个方面得到广泛应用. 随着大数据分析的发展，人们对张量的研究日益增加. 目前，有关张量的研究成果已较为丰富[1-5]. 此处所提的张量也可以称作超矩阵，相比于矩阵元素有2个下标，张量元素的下标个数可以大于2个. 鉴于矩阵与张量之间的联系，许多矩阵理论中的内容已被推广到张量上进行研究，如严格对角占优矩阵[6]、特征值[1]、正定性[1]和Perron-Frobenius定理[7]等.

方阵的子直和是矩阵和的一种推广，FALLAT 和 JOHNSON[8]给出了方阵子直和的定义，并对其性质进行研究. 方阵子直和在矩阵的完备化[9]、区域分解方法中的重叠子域[10]等问题中均有涉及. 目前关于方阵子直和的研究已有许多结果[8,11-17].

本文利用矩阵与张量之间的维数关系，定义了张量子直和与S-严格对角占优型张量，证明了严格对角占优张量的k-子直和是严格对角占优张量，并给出了张量的子直和为S-严格对角占优型张量的一个充分条件.

1 张量的子直和

对于一个正整数n(≥2)，如果ai1i2…im(ij=1,2,…,n;j=1,2,…,m)，则=(ai1i2…im)称为一个m阶n维实张量，记为[m,n].

下面先给出几个定义.

定义1[8]设方阵A和B的阶分别为n1和n2，k为整数且满足1≤k≤min{n1，n2}. 如果

其中A22和B11均为k阶方阵，那么

称为A和B的k-子直和，记为C=A⊕kB.

定义2[11]设矩阵A=(aij)n×n，n≥2，S是集合[n]的一个非空子集，如果以下2个条件成立：

则称A是S-严格对角占优矩阵，简记为S-SDD矩阵.

定义3[18]设张量=(ai1i2…im)[m,n]，如果对于所有的i[n]，有

由定义1和定义2，利用矩阵与张量之间的联系，可定义张量子直和与S-SDD型张量：

定义4设张量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]，n1,n2≥2，n=n1+n2-k，k为整数且1≤k≤min(n1,n2)，t=m-k，令

ci1i2…im=

其中，S1={1,2,…,n1-k}，S2={n1-k+1,…,n1}，S3={n1+1,…,n}，则张量=(ci1i2…im)[m,n]称为与的k-子直和，记为=⊕k.

定义5设张量=(ai1i2…im)[m,n]，n≥2，S是集合[n]的一个非空子集，如果以下2个条件成立：

2 SDD张量和S-SDD型张量的子直和

本节证明2个SDD张量的子直和仍然是SDD张量，以及1个SDD张量与1个S-SDD型张量的子直和是S-SDD型张量.

定理1设张量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]都是SDD张量，k为整数，且1≤k≤min(n1,n2)，n1,n2≥2，n=n1+n2-k. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，则与的k-子直和=⊕k是SDD张量.

证明分3种情形证明.

情形1. 当i1S1时，有

则

情形2. 当i1S2时，因为和是SDD 张量，所以

(1)

bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(2)

根据定义4，有

ci1i1…i1=ai1i1…i1+bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(3)

由式(1)～(3)，可知

情形3. 当i1S3时，有

则

综上所述，当i1S1∪S2∪S3时，有

定理1表明2个SDD张量的子直和仍然是SDD张量，但是，2个S-SDD型张量的子直和不一定是S-SDD型张量.

例1张量=(aijk)[3,4]，其中

令S={1,2}，则张量是S-SDD型张量. 但是 2-子直和=⊕2不是S-SDD型张量，此时定义5中的条件(ii)不成立，因为，当i=1，j=5时，有

下面给出2个张量的子直和为S-SDD型张量的一个条件.

定理2设张量=(ai1i2…im)[m,n1]是S-SDD型张量，张量=(bi1i2…im)[m,n2]是SDD张量，S是S1的一个非空子集，n1,n2≥2，k为整数且1≤k≤min(m,n)，集合S1、S2、S3与定义4中的相同. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，则k-子直和=⊕k是S-SDD型张量.

证明先证明S=S1时的情形. 要证明张量是S-SDD型张量，需证明以下2个条件成立：