钱超群，欧 屹，冯虎田，黄俊朋

(南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094)

刚体的运动轨迹规划无论是在计算机图形学还是在机器人学中都是一个重要的问题[1-2]。其中刚体的朝向问题，也即刚体的姿态规划问题是核心问题，其平滑度直接影响动画的连贯性与运动效果的逼真性[3]，以及机械加工中产品的加工质量[4]等。在历经了旋转矩阵法、欧拉角法、轴角法[5-6]后，单位四元数法凭借其高效简洁[7-8]、可以避免万向节锁死[9]等优点，已逐渐成为计算机动画和机器人轨迹规划领域的首选[10-12]。众多学者对四元数插值算法进行了研究，但对插值算法的评价方法还没有统一标准，都是基于其研究特点进行描述。例如在计算机图形学中，给出的是3D关键帧插值动画实例[13-16]，即将插值结果图形平铺进行对比。而在机器人学中，常给出其固定在末端执行器端点处坐标系的旋转插值变换图[2,17-19]。这样既不直观，也不能反映机器人关节空间的轨迹变化。而机器人的笛卡尔空间轨迹都是由关节空间各关节角的变化驱动的。为了既能直观感受姿态轨迹变化情况，又能得到相应关节角的运动曲线，本文从单位四元数与3D旋转的关系出发，构建了基于单位球面轨迹的四元数插值算法评价方法。

1 四元数及其与3D旋转的关系

四元数由英国数学家William Rowan Hamilton在1843年发明，其可以看成是复数向四元空间的推广。与复数的区别是复数只有一个虚部，而四元数有3个虚部。任意一个四元数q(q∈H)都可以写成以下的形式：