林振生

(1.福建工程学院 计算机科学与数学学院，福建 福州 350118；2.福建师范大学 数学与信息学院，福建 福州 350117)

为纪念前苏联科学家 Sobolev，学者们将一类函数空间命名为 Sobolev空间，它是寻找椭圆方程解存在性常用的基本工具[1]2,[2]1。有关 Sobolev 空间有大量的研究工作及应用场景[3-5]。郭玉霞等人[5]研究了带有某类深井位势的双调和方程极小能量解的存在性。Liu等人[4]在更一般位势假设下，研究某类非线性SchrÖdinger方程解的存在性，提及一类比普通深井位势更弱的位势函数，工作空间具有一定的紧性嵌入性质。但未给出该结论的证明。这结论也出现在文献[6]引理3.4，Zou[6]45利用命题1.13(有界区域上的Sobolev 嵌入定理)及命题1.16(Gagliardo-Nirenberg 不等式)给出这一紧嵌入定理的详细证明。而为能利用锥上的上同调环绕变分方法解决一类带有位势函数的p-Laplace方程非平凡解的存在性问题，Liu[3]给出更弱意义下的 Sobolev 空间紧嵌入定理。近十年来，带不同位势函数的Sobloev空间及其应用一直是学者们关注的问题，是否存在比文献[4-6]中位势函数更弱的位势函数？如果存在，那么在研究p-Laplace方程非平凡弱解存在性时，这类更弱位势函数的Sobolev空间是否也存在紧嵌入定理？本文力图论证带更弱位势函数的一类Sobolev函数空间存在紧嵌入定理。

1 问题描述及主要结果

过去学者们常使用满足如下(V0)、(V1)条件的位势函数V(x)：

在深井位势函数环境下, 郭玉霞等[5]人研究了带深井位势的双调和方程极小能量解的存在性。而在文献[7]中，Bartsch等人也在(V0)、(V1′)假设下，研究下列非线性……