朱欢,方莉

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

本文研究三维周期空间中不可压缩非牛顿流体/Vlasov方程组的大时间行为,考虑如下方程组

其初始条件为

流体-粒子方程组是流体力学中一类重要的模型,常用来模拟流体与粒子的相互作用,由于它在生物学,药学,石化工业等领域的广泛应用[1-3],吸引了许多学者的关注.这里简单介绍流体-粒子耦合模型的相关结果.文献[4]首次给出不可压缩Vlasov-Navier-Stokes方程组弱解的全局存在性(N 6 2)和弱解的大时间行为(N=2,3),其中N空间维数.文献[5]讨论了周期区域中不可压缩Cucker-Smale-Navier-Stokes方程组弱解的全局存在性和时间衰减估计,之后,文献[6]证明了可压缩 Cucker-Smale-Navier-Stokes方程组强解的全局存在性,利用Lyapunov函数估计其大时间行为.在文献[6]的基础上,文献[7]介绍了一个新的Lyapunov函数,给出Vlasov-Navier-Stokes系统全局经典解的大时间行为,指出随着时间的推移粒子与流体速度呈指数衰减.关于流体-粒子方程组的其他结果见文献[8-9].

这里ψ(·)是非负,单调不减的光滑对称函数,研究了该模型三维周期区域中不可压缩粘性非牛顿流体与Cucker-Smale方程组弱解的存在性并分析了所得解的大时间行为.本文对初始能量提出小性假设,采用文献[11]中的Lyapunov函数,研究方程组(1)-(2)在三维周期区域下弱解的大时间行为.

首先,定义三维周期空间下的函数空间.

其次,给出方程组(1)-(2)弱解的定义和存在性理论.

成立.

成立.

方程组(1)-(2)弱解的存在性,利用文献[11]的方法证明可得,本文主要讨论该弱解的大时间行为.

接着定义流……