赵娇,马如云

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

1 引言

弹性梁在平衡状态下的形变是由四阶常微分方程边值问题来描述的,近年来,关于非线性四阶常微分方程两点边值问题解的存在性,参见文献[1-8].

比如,文献[1]基于压缩映射定理研究四阶两点边值问题

得到如下结果:

(ii)|f(t,u2,v2)−f(t,u1,v1)|≤a|u2−u1|+b|v2−v1|,(t,ui,vi)∈DM,i=1,2;

则问题(1)存在唯一解.

文献[1]中问题(1)为一端固定支撑,一端自由滑动的梁方程,其非线性项f为连续函数,工作空间是C[0,1]空间,通过运用压缩映射定理得到定理1.1.这里注意到:文献[1]所用工具比较简单,由于所用工具的局限性,仅得到解的唯一性.一个自然的问题是:对于两端固定支撑的梁方程,非线性项f为更一般的Carathéodory函数时,该用什么方法考虑解的存在性及唯一性?能否在更复杂的空间,如连续可微实值函数空间及Sobolev空间研究解的存在唯一性.基于上述考虑,本文运用Leray-Schauder延拓定理考察四阶两点边值问题

解的存在唯一性.

设Ck[0,1]为k次连续可微实值函数构成的空间,其在范数

下构成Banach空间,其中

下构成Banach空间.

本文总假定:

定理 1.2 若条件(H1)-(H3)成立,则问题(2)在C1[0,1]空间至少存在一个解.

定理 1.3 若条件(H1)-(H3)成立,则问题(2)在W1,2[0,1]空间至少存在一个解.

定理 1.4 若条件(H2)-(H3)成立,则问题(2)在C1[0,1]空间和W1,2[0,1]空间都有唯一解.

注 1.1 文献[1]在非线性项f为连续函数且有界的情形下,得到了问题(1)解的唯一性.本文在非线性项 f满足 Carathéodory条件的情形下,在 C1[0,1]空间和W1,2[0,1]空间中讨论了问题(2)解的存在性和唯一性,因此推广了文献[1]的结果.

2 预备知识

(b)对几乎所有……