郭东亮,李聪端,秦家银

(1.中山大学电子与通信工程学院,广东 深圳 518107;2.中山大学电子与信息工程学院,广东 广州 510006)

1 引言

在分形几何研究中,分形的Hausdorff维数与Hausdorff测度的确定很重要,但又是一个难题,二者中Hausdorff测度的计算更加困难[1-5].计算一般集合的Hausdorff测度难度很大,不存在普遍适用的方法.满足开集条件的自相似分形集由于具有严格的自相似性,在计算Hausdorff测度方面的研究成果最多.Cantor集,Koch曲线和Sierpinski垫片是3个经典的自相似集,目前三分Cantor集的Hausdorff维数与Hausdorff测度已经得到完全解决[1],但对于Koch曲线和Sierpinski垫片,人们只求出其Hausdorff维数,Hausdorff测度则难以给出准确值,只能估计其上下界[2-4].

文献[2-3,6-8]均研究了Koch曲线的Hausdorff测度并对其上界进行了估计,文献[9]利用数值计算方法研究了Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计值.在已公开发表的文献中,Koch曲线的Hausdorff测度的最好上界是Hs(K)≤0.587697.

本文在已有研究成果基础上,通过在Koch曲线上构造分形级更高的新覆盖并利用相关定理,得出Koch曲线Hausdorff测度的更好上界估计Hs(K)≤0.58764947,并通过进一步的分析,给出了Koch曲线的Hausdorff测度的精确上界在0.58764946至0.58764947之间.

2 Koch曲线及其Hausdorff测度

下面是关于Koch曲线K的一些相关定义和结果[1-2].

(2)设n≥1,Kn中夹角为60◦的相邻两边构成一个正三角形,称作Kn的基本三角形,并记作∆n;

(3)K 是路径连通的,设点A,A′∈K,记AA′为K 上的从点A到点A′的连通弧;

Hausdorff测度记为Hs(·),本文中使用如下引理:

引理 2.1[1]由Hausdorff测度的齐次性知

3 已有结果分析

将图1的FB段图形放大,得到图2,在属于K4的边FB上生成属于K5的正三角形∆GHI,再在属于K5的边GB上生成属于K6的正三角形∆JLM,文……