均布压力下单阶柱屈曲临界荷载算法

2021-03-31陈婷婷张自兴

四川建筑 2021年1期

陈婷婷，张自兴，莫玉

(1. 四川水利职业技术学院，四川成都 611231； 2. 国网四川省电力公司绵阳供电公司, 四川绵阳 621000)

在多高层建筑中，为了减少整体荷载和材料用量，通常将核心筒、剪力墙或柱子沿一定高度进行截面收缩，实际工程中沿高度方向变一次截面的核心筒、剪力墙等构件可根据结构的弯剪特性，采用连续化方法，将其简化为等效的单阶柱模型[1-2]。高层建筑整体稳定性近似分析时，竖向荷载可按均布荷载考虑，故竖向荷载作用下高层建筑的稳定分析可以近似简化为均布压力下单阶柱的稳定性分析。

目前对于阶形柱在顶点集中荷载作用下(图1(a))的稳定性研究较多，而对于均布压力作用下阶形柱的稳定性研究很少。文献[3-4]提出用等效刚度法将变截面压杆等效为等截面压杆来计算顶部集中荷载作用下的变截面压杆的屈曲荷载；文献[5]将变截面柱视为等截面柱，该等截面柱的截面为变截面柱的最小截面，通过引入修正系数来反映截面变化对柱承载能力增大的效果；文献[6]通过等效刚度法和等效负刚度法建立了变截面变轴力悬臂柱与等截面等轴力悬臂柱的等效关系，对变截面变轴力问题进行解答并给出了计算公式。

本文首先分别采用横向均布荷载作用下的变形曲线和余弦函数来描述单阶柱在纯弯曲屈曲时的模态，运用能量法推导上下柱均布压力不等时(图1(b))单阶柱的纯弯曲屈曲临界荷载；然后考虑剪切变形的影响，推导均布压力下弯剪型单阶柱的屈曲临界荷载。

图1 不同荷载作用形式下的单阶柱

1 纯弯曲屈曲临界荷载

1.1 横向均布荷载作用下的变形曲线作为试验函数

假定下柱与上柱均布压力比为λ，则横向均布荷载作用下的计算简图如图2所示，变形曲线为

图2 上下柱横向均布荷载不同

当x

(1)

当l2≤x≤l时：

y1=

(2)

将式(1)和式(2)作为单阶柱在均布压力作用下的变形曲线，则上下柱弯矩为：

(3)

[(2-2λ)l2-2l]x+l2}，(x

(4)

弯曲应变势能

(5)

均布压力荷载势能

(6)

式中：

(7)

式中：

C=1260β2+(315λ2+4466λ-1841)β6+(1214-1528λ-526λ2)β7+

(1260λ+5250)β4-(4368λ+1344)β5+(235λ2+50λ-180)β8-4200β3

容易验证，当λ=1时，式(7)可化简为：

(8)

式中：

A=60β2-200β3+310β4-272β5+140β6-40β7+5β8

式(8)为上下柱均布压力相等时单阶柱的纯弯曲屈曲临界荷载。

若令α=β=1，则ξ=8，式(8)变为：

(9)

式(9)为横向均布荷载作用下的变形曲线作为能量法近似曲线时，等截面悬臂柱的屈曲临界临界荷载计算公式[7]。

上述运用横向均布荷载作用下单阶柱的纯弯曲侧移曲线作为均布压力下单阶柱屈曲时的弯曲分量时，由于挠度曲线为分段连续函数，结果算得的屈曲临界荷载计算公式较为复杂，不便于工程实际应用。为了得到简便实用的计算公式，下面将采用余弦函数作为试验函数。

1.2 用余弦函数作为试验函数

设变形曲线为余弦函数

(10)

将式(10)作为能量法计算均布压力作用下单阶柱弯曲屈曲时的近似变形曲线(符合边界条件)，则上下柱弯矩：

(11)

(12)

弯曲应变势能

(13)

竖向均布荷载势能为：

(14)

式中：

将式(13)和式(14)代入Π=U+V，由势能驻值条件：∂Π/δ2=0，并令I2/I1=α，l2/l=β，可得上下柱所受均布压力不等时单阶悬臂柱的屈曲临界荷载：

(15)

容易验证：当λ=1时，式(15)可简化为：

(16)

式(16)为上下柱所受均布压力相等时单阶柱的屈曲临界荷载。

若令α=β=1，式(16)变为：

(17)

式(17)为三角函数作为试验函数时，用能量法推导得到的等截面悬臂柱的屈曲临界荷载，已由文献[8]推导得到。

1.3 公式验证

1.3.1 上下柱均布压力相等

运用有限元软件SAP2000对不同试验函数得到的单阶柱弯曲屈曲临界荷载计算公式(8)和式(16)进行验证。有限元模型采用单阶矩形悬臂柱，E=2.06×105N/mm2，上柱截面为400 mm×400 mm，面积Ac=1.6×105mm2，惯性矩I1=2.133×109mm4，柱总高l=30000mm，为忽略剪切变形的影响，将模型剪切刚度修正系数设为1000。计算结果见表1。

表1 式(8)及式(16)与有限元结果对比

由表1知：在α、β的常用取值范围内(α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.6])，式(8)与有限元结果的相对误差范围为2.1 %～3.2 %，精度很高，且误差变化范围不大；式(16)与有限元结果的相对误差范围是1.8 %～5.7 %，式(16)虽然精度较式(8)稍差，但其公式简单，可以较为准确地估计结构的弯曲屈曲荷载，满足工程应用的要求。

1.3.2 上下柱均布压力不等

同样用上述模型对α、β和λ取不同值时式(7)和式(15)进行验证，结果如表2～表4所示，λ=1时即为表1中数据。

表2 式(7)及式(15)与有限元结果对比(λ=1.2时)

表3 式(715)及式(15)与有限元结果对比(λ=1.4时)

表4 式(7)及式(15)与有限元结果对比(λ=1.6时)

表2～表4中数据表明：当λ∈[1.0，1.4]时，在α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.6]范围内，式(7)与有限元结果的相对误差范围为0.6 %～5.5 %，精度很高；当λ=1.6时，式(7)与有限元结果的最大相对误差为10.0 %，误差较大。

当λ∈[1.0，1.6]时，在α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.4]范围内，式(15)与有限元结果相对误差范围为0.4 %～8.4 %，能够较为准确地估计结构的屈曲临界荷载，当β=0.6，α∈[1.2，1.8]且λ∈[1.4，1.6]时，式(15)与有限元结果相对误差范围为8.1 %～14.4 %，误差较大，公式已不适用。

2 弯剪型屈曲临界荷载

在上述单阶柱纯弯曲屈曲临界荷载的推导过程中，用横向均布荷载作用下的变形曲线作为试验函数时，推导的公式虽然精度很好，但较为复杂。而采用余弦函数作为试验函数时，虽然精度略有降低，但公式形式简单，便于工程实际应用。对于均布压力作用下的弯剪型单阶柱，如图3所示，在进行屈曲分析时用正弦函数描述剪切分量，余弦函数描述弯曲分量。

图3 均布压力下弯剪型单阶柱

2.1 公式推导

假设单阶柱在均布压力下的剪切变形曲线为

(18)

式中：Δs为顶点剪切位移。

显然，式(18)满足几何边界条件:

均布压力作用下，单阶柱的剪力:

(19)

(20)

剪切应变势能:

(21)

单阶柱在均布压力作用下发生弯剪屈曲时，结构的变形分为弯曲变形和剪切变形，总变形为两者的和[9]：

(22)

结构总的应变势能:

U=Ub+Us=

(23)

均布压力荷载势能:

(24)

由外力功增量与应变能增量相等，可得：

(25)

式中：

由势能驻值条件，对上式进行变分：

(26)

(27)

由于Δb、Δs有非零解的条件是系数行列式为零，即：

(28)

由上式可得，结构发生弯剪屈曲时的临界荷载方程为：

-[Eπ4l2(π2+4)(I2K1-I1K2)+4π2l4(π2-4)(S2K1-S1K2)]q(π4-4π2-16)l6q2+

4Eπ6(I2K1-I1K2)(S2K1-S1K2)=0

(29)

解方程，得：

(30)

式中：Z1=Eπ2(π2+4)(I2K1-I1K2)，

Z2=4l2(π2-4)(S2K1-S1K2).

2.2 公式验证

运用有限元软件SAP2000对式(30)进行验证，采用平面单阶悬臂柱模型进行特征值屈曲分析，单元采用框架单元，E=2.06×105N/mm2，上柱截面为H600×300×10×16，惯性矩I1=9.714×108mm4，剪切刚度S1=4.512×108N，下柱与上柱截面形式相同，只做刚度变化，柱总高l=30000mm。为扩大剪切变形的影响，将模型剪切刚度修正系数设为0.2。令I2/I1=α，l2/l=β，S2/S1=γ，下表中均布荷载单位为kN/m。

2.2.1 剪切刚度比与惯性矩比相等

当γ=α时，随着β和α的变化，式(30)与有限元结果的相对误差如表5所示。