何东林,彭康青

(陇南师范高等专科学校 数信学院， 甘肃 陇南 742500)

有限生成模和有限表示模是同调代数中的重要模类,也是刻画模的多种性质的有效工具.有限n-表示模作为有限生成模和有限表示模的一个推广,许多学者对此进行了研究[1-5].特别地,Bravo等[5]引入了关于有限n-表示模的内射模和平坦摸,即FPn-内射模和FPn-平坦模.Wang等[6]讨论了关于有限表示模的内射复形及复形的内射维数.基于以上研究背景,本文主要研究关于有限n-表示模的内射复形、平坦复形及投射复形,并讨论FPn-内射复形和FPn-平坦复形之间的关系.

1 定义与引理

用FPnP表示所有FPn-投射模组成的类,则FP0P⊆FP1P⊆FP2P⊆…⊆FPnP⊆….

定义2 如果X正合且每个圈Zn(X)是FPn-内射模，称左R-复形X是FPn-内射复形；

如果X正合且每个圈Zn(X)是FPn-投射模，称左R-复形X是FPn-投射复形；

如果X正合且每个圈Zn(X)是FPn-平坦模，称左R-复形X是FPn-平坦复形.

例1内射复形是FPn-内射复形,FP-内射复形[6]是FPn-内射复形,其中n≥1.投射复形是FPn-投射复形,平坦复形是FPn-平坦复形.

引理1[5]设n>1,则(FPnF,FPnI)是一个对偶对.

引理2[5]设R为环,则以下条件等价：

①R是左n-凝聚环；②FPnI=FPn+1I；③FPnI是内射可解的.

定义3[9]设(x,y)是Abel范畴上的余挠理论,C是复形：①称C是x-复形,如果C正合且对任意整数n有Zn(C)∈x.②称C是y-复形,如果C正合且对任意整数n有Zn(C)∈y.③称C是dg-x复形,如果对任意整数n有Cn∈x,且对任意y-复形Y都有Hom(C,Y) =0.④称C是dg-y复形,如果对任意整数n有Cn∈y,且对任意x-复形X都有Hom(X,C) =0.

2 主要结论

定理1模类FPnP关于扩张、直和及直和因子封闭.

证明先证FPnP关于扩张封闭.设(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列,其中U,W∈FPnP.对任意M∈FPn,用函子HomR(-，M)作用于(ε)可得正合列

再证FPnP关于直和封闭.设(Ui)i∈I是一族FPn-投射模,对任意FPn-模N有同构

最后证明FPnP关于直和因子封闭.设M是FPn-投射模且M1是M的直和因子.不妨令M=M1⊕M2,则对任意FPn-模F都有

定理2设R为左n-凝聚环,则(FPnP,FPnI)是一个完全遗传余挠理论.

证明由定义1知,FPnP=⊥FPn.由引理1得,(FPnP,FPnI)是一个完全余挠理论.又因为R为左n-凝聚环,由引理2知，FPn-内射模类FPnI是内射可解的.因此(FPnP,FPnI)是一个完全遗传余挠理论.

有了以上结论,可考虑将定义3中余挠理论特殊地取为(FPnP,FPnI),则FPnP复形与FPn-投射复形一致,FPnI复形与FPn-内射复形一致.

定理3设R为左n-凝聚环,则以下结论成立：

1)若复形X下有界且每个Xn∈FPnP,则X是dg-FPnP复形.

2)若复形X上有界且每个Xn∈FPnI,则X是dg-FPnI复形.

证明根据定理2及文献[6]中引理2 易证.

定理4设M是左R-模,则以下条件等价：

①M是FPn-内射模； ②Di(M)是FPn-内射复形.

定理5X是左R-模正合复形,则Zn(X+)≅Zn(X)+,其中X+=Hom(X,D1(Q/Z)).

证明设X=…→Xn+1→Xn→Xn-1→…为左R-模正合复形,则

X+=…→Hom(X,∑-(n+1)D1(Q/Z))→Hom(X,∑-nD1(Q/Z))→

Hom(X,∑-(n-1)D1(Q/Z))→….

令α-n：Hom(X,∑-nD1(Q/Z))→Hom(X-n,D1(Q/Z))

f=(fm)m∈Z→α-n(f)=f-n,易知α-n为同构且下图可交换,

…→HomR(X-(n+1),Q/Z)→HomR(X-n,Q/Z)→HomR(X-(n-1)，Q/Z)→…

不妨记上图中下行复形记为W,因为X是左R-模正合复形且Q/Z是Z-模内射余生成子,所以Zn(X+)≅Zn(W)≅HomR(Zn(X),Q/Z)=Zn(X)+.

定理6设R为左n-凝聚环,X是左R-模复形,则

X是FPn-平坦复形当且仅当X+=Hom(X,D1(Q/Z))是FPn-内射复形.

证明根据引理1得,Zn(X)是FPn-平坦模当且仅当Zn(X+)是FPn-内射模,从而由定理5可知,Zn(X)是FPn-平坦模当且仅当Zn(X)+是FPn-内射模.因为Q/Z是Z-模内射余生成子,所以X是正合复形当且仅当W为正合复形.又根据定义2得,X是FPn-平坦复形当且仅当X+=Hom(X,D1(Q/Z))是FPn-内射复形.