周艳丽, 任同擎, 陈立范, 王宏杰

（上海健康医学院 文理教学部，上海 201318）

1 问题的提出

随机延迟微分方程是Itô和Nisio 在1964 年引入的，在过去的几十年受到了不少学者的关注并取得了一定的成果[1-4]。文献[5]研究了具有时滞的随机SIR（susceptible, infective and removed）传染病模型，通过构造李雅普诺夫函数得到了无病平衡点和地方病平衡点的渐近性态。文献[6]在采用部分保护性接种疫苗的情况下，得到了随机SIS（susceptible, infective and susceptible）传染病模型的阈值。文献[7]研究了具有饱和发生率的随机SIR和SEIR（susceptible, exposed, infective and removed）传染病模型，得到了模型的阈值，并根据阈值分析了模型的动态传播行为。文献[8]研究了一类具有随机效应的SIRI（susceptible, infective, removed and infective）传染病模型，讨论了随机模型的解在相应确定性模型的平衡点附近的震荡行为以及随机模型的解的持续存在和疾病灭绝的充分条件。

考虑到疾病的发生和发展会受到接种时滞和环境等随机因素的影响，本文建立了一类含确定免疫期时滞的随机SISV（susceptible, infective,susceptible and vaccinated）传染病模型，并通过对该随机模型的研究来揭示时滞和环境随机因素等对疾病传播的动力学影响。由于疾病流行途径和方式的复杂性，在以上文献的基础上，考虑了更为一般的非线性发生率形式： βS f(I) ， 其中， β表示易感者和感染者之间的传染率，S表示易感者，函数f(I)∈C2满足以下性质[9]：

显然，f(I)在 [0, +∞)上是Lipschitz 连续且对所有的I>0， 有 0 ＜f(I)≤f′(0)I成立。

2 模 型

设S(t),I(t),V(t)分 别表示t时刻易感者、染病者与已接种的人数，N(t)表 示t时刻的总人口数，假设没接种者都是易感者，A表示人口常数输入率，A>0；q表示接种者的比例， 0 ≤q≤1；p表示易感者被接种率，p≥0 ；d表……