冯倩倩，张立强，孔 森，刘 钢

（上海工程技术大学机械与汽车工程学院，上海 201620）

0 引言

在CNC 系统中，对复杂零件的轮廓加工通常使用线性（G01）或圆形（G02，G03）指令。因此，系统会生成具有数量大、长度短等特点的小线段，这些小线段彼此之间不连续，破坏了零件轮廓的光顺性。同时，大量的数据也为系统计算处理增加了负担。在满足精度要求的情况下，可能会遇到以下问题：①直线段很短的数控代码无法实现高速加工；②相邻段连接处，进给速度的波动和不连续现象严重；③高加减速可能会引起系统振动，降低加工表面质量。

针对这些问题，国内外学者进行了大量研究。其涉及的主要技术有脉冲响应技术和样条曲线插补技术等，脉冲响应技术通过滤波器生成平滑的进给轮廓。Altintas 等［1-2］提出一种基于FIR 滤波器的在线插值技术，其应用仅限于简单的轨迹点对点；Liu 等［3］提出一种综合运动学方法，采用FIR 滤波器约束具有有界运动的GO1 指令，并产生时间最优和跃度限制的线性段。样条曲线插补方法主要依靠高阶样条曲线［4-6］，实现加工路径的平滑转接并提高加工效率，然后对路径进行速度规划以达到平滑速度和加速度，缓解由于机床骤停引起的振动；王斌锐等［7］在拐角过渡时利用圆弧转接，并结合非对称S 加减速规划，实现全局的自适应前瞻加工，但在加工过程中没有考虑拐角误差的约束条件；唐清春等［8］为了得到C3连续的最优刀具位置点曲线，在相邻刀尖点利用B 样条曲线使拐角圆滑过渡；Wang 等［9］提出一种基于Akima 曲线拟合的实时前瞻性插值算法，但计算量大，且无法得到Akima 曲线的斜率向量；Nien 等［10］提出一种高速加工实时前瞻插补方法，在零件轮廓位置连续的基础上，建立连续样条曲线交点处的斜率和曲率的连续条件，通过设定曲率阈值识别拐角，并对不同类型拐角处的轮廓误差和加速度进行限制；李方等［11］提出一种基于直线和NURBS 曲线混合的实时插补算法，通过拟合准则对合适的点集进行分段拟合，但只消除了局部拟合曲线的振动，并没有处理混合段之间的过渡平滑问题，在加工过程中依旧有冲击振动问题存在；Lee 等［12］提出一种G3插值和运动规划相结合的实时插补算法，刀具路径由线段和4 次曲线段混合组成，并能达到G3连续，但研究没有考虑刀具轨迹相交情况；Ye 等［13］提出一种拐角光顺误差约束优化算法，将刀具半径补偿与拐角平滑结合起来，采用多约束规划策略对误差约束进行优化，能够保证切削精度并提高加工效率；Fan 等［14］提出一种基于G4轨迹连续和跳度平滑的实时加工方法，能降低加工过程中的振动；Liu 等［15］提出一种线段实时插补策略，在保证刀具轨迹C2&G2连续和刀具运动跳度连续的同时，具有插值计算效率高的优点；Shi 等［16］提出一种基于曲率连续的5 次PH 曲线过渡的刀具轨迹实时前瞻插补方法，但是只约束了逼近误差，没有对弓高误差作出约束；Wang 等［17］提出一种具有非对称过渡轮廓和有限跳度的角轨迹平滑方法，该方法无需对称的过渡轮廓，因此可以充分利用驱动器的性能，但是限制条件较多，需在拐角轨迹不重叠且转弯过程抖动恒定的情况下作深入研究。

本文提出一种基于曲率连续的混合曲线插补算法。首先根据小线段的长度与线段之间的夹角等约束，确定符合拟合条件的小线段并使用非均匀B 样条曲线进行拟合，然后对相邻不同类型线段之间的拐角使用5 次PH 曲线进行C2Hermite 插值插补，得到一条曲率连续的轮廓路径，并在弓高和加速度的限制下对速度进行约束，完成整个轮廓加工。

1 非均匀B 样条拟合实现

本文使用非均匀B 样条曲线进行轮廓拟合，曲线变化比B 样条更灵活，也不会产生扭结现象。曲率连续，也称为G2连续，是指两个连续的线段在函数处具有相同的切线单位和曲率向量，可以避免法向加速度的不连续性。由于三阶曲线是实现G2连续的最低阶次，因此本文采用3 次非均匀B 样条曲线，定义如式（1）所示。

其中，pi是曲线控制点，Ni,k(u) 是基函数。令实数序列为U={u0,u1,…,um}，且满足ui≤ui+1,i=0,1,…,m-1。

Ni,k(u) 是B 样条曲线空间中具有最小支撑的一组基，因此被称为基本样条，定义如式（2）所示。

2 PH 曲线拐角过渡实现

2.1 PH 曲线

PH 曲线不仅具有曲率连续变化的性质，而且PH 曲线能建立精确的“弧长—参数”信息。由于偶次PH 曲线为非正则曲线，具有奇异点；3 次PH 曲线无法灵活处理拐点，5次及以上的PH 曲线能保证G2连续，6 次以上的PH 曲线又过于复杂。因此，本文选择5 次PH 曲线进行拐角处的过渡。定义一条满足控制点为Pi，(i=0,1,2,3,4,5) 的平面5次PH 曲线如式（3）所示。

则5 次PH 曲线曲率如式（4）所示。

其中，实项多项式u(t)=，v(t)=。

2.2 PH 曲线C2Hermite 插值

由PH 曲线的定理可知［18］，已知PH 曲线的首末端点、其切矢以及端点处的二阶导，就能得到PH 曲线的C2Her⁃mite 插值。首先根据不同的连接情况，计算拐角点处两个切矢，然后计算PH 曲线拐角过渡的首末端点Ps(xs,ys)和Pe(xe,ye)，最后带入曲线方程得到首末端点处的切矢和二阶导，就能完成由PH 曲线进行拟合的拐角过渡。

2.2.1 拐点处切矢计算

拐点处会出现3 种情况，分别为直线与直线相连接、直线与曲线相连接以及曲线与曲线相连接。因此，拐点处可能出现两种切矢，分别为直线端的切矢和曲线端的切矢。

直线端的切矢可由直线的斜率k 表示，为了方便计算，令常数n 为向量的模的倒数，求单位切矢如式（5）所示。

其中，α为直线与x 轴正方向的夹角。

设β为曲线切矢与x 轴正方向的夹角，则曲线P(t)={x(t),y(t)}端点处的单位切矢量如式（6）所示。

2.2.2 拐角处PH 曲线首末端点计算

由图1 所示，已知A(xa,ya)、B(xb,yb)、C(xc,yc)3 点，以拐角B 点为例，由夹角公式可求得∠ABC 的角平分线lB的斜率k0，则首末端点所在的直线L 垂直于角平分线lB。由于首末端点的位置会影响拐角的轮廓误差，因此在计算时要考虑误差限制，由于加工的多样性，设直线L 与拐点B 的最大误差容限为εe，r 为小于1 的常数。r 越小，表示加工精度越高。由拐点B 点到直线L 的距离以及角平分线lB能得到坐标P0(x0,y0)，如式（7）所示。

因此，直线L 与线段AB 的交点Ps为PH 曲线的首端点，坐标如式（8）所示。

同理可得拐点B 处的PH 曲线末端点Pe。

Fig.1 Corner transition diagram图1 拐角过渡示意图

3 轮廓拟合插补实现

在进行高速加工时，连续性差的小线段会导致刀具进行频繁加减速，机床受到的冲击会影响零件加工质量和效率。为了使加工过程更加平稳，需要对连续小线段进行预处理。因此，整个轮廓的拟合分为预处理和插补两个过程。拟合曲线本身是G2连续，经过PH 曲线在拐角处的C2Hermite 插值，整个平滑路径是G2连续。

3.1 预处理

为了保证拟合后轮廓的精度，需要利用CAM 系统对零件轮廓进行划分处理。在对处理后得到的连续小线段进行拟合前，需要分析NC 代码中小线段的几何特性，划分区域并筛选出符合条件的小线段在区域内进行小线段组连接，以提高拟合效率，缩短加工时间。

当然，不是所有的线段组都可以直接拟合。例如，高曲率点就不适合直接进行拟合，可能会导致拟合曲线的纽结和变形，需要分区拟合后再通过拐角插补转接光顺；相邻两个拐角之间的距离过小时，会导致刀具在转接过程中的过渡轮廓发生重叠，从而破坏了过渡路径。如果插补后的拐角轮廓重叠，为了使该重叠部分的运动不超出系统的运动学限制，同时减少控制系统由于重叠部分的插补而造成的进给颤动，拐角处进给运动的转接速度会降低，或者会减少最大轮廓误差［19］。因此，为了能够合理地进行拟合，需要考虑几何上的约束。

（1）直线段间拐角。相邻小线段之间的拐角大小反映出小线段之间的连接关系，影响拟合曲线的形状和精度，因此，为了保证拟合误差，夹角需要满足一定条件。

如图 2 所示，连续小线段组上的 3 个交点Pi-1(xi-1,yi-1)、Pi(xi,yi)和Pi+1(xi+1,yi+1)，在拟合半径为R的圆弧段上，线段Pi-1Pi和线段PiPi+1之间的夹角φ可由直线间的夹角公式得到，如式（9）所示。

其中，k1为线段PiPi+1的斜率，k2为线段Pi-1Pi的斜率。

线段PiPi+1和线段Pi-1Pi的拐角为θ，δ1和δ2分别为线段PiPi+1和线段Pi-1Pi处的弓高，则θ计算如式（10）所示。

若δmax为给定所允许的最大弓高，在δ1=δ2=δmax时，θ取得最小值θmin，则连续小线段间能进行拟合所允许的最大拐角如式（11）所示。

当φ＞φm时，Pi为断点，不能进行拟合。

Fig.2 Schematic diagram of line segment fitting图2 直线段拟合示意图

（2）直线长度。直线段的长度对拟合过程也起到重要影响，线段长度过长，拟合误差也过大，长度较大的线段可以直接由直线插补。直线L 在最大弓高的情况下，最大长度计算如式（12）所示。

因此，当L＜Lmax时，直线段能进行拟合。

（3）拟合误差评价。以Hausdorff 距离作为评价曲线拟合标准［20］，Hausdorff 距离定义如式（13）所示。

其中，Hm(c,p) 是Hausdorff 距离；c(u) 为拟合曲线方程，p(t) ‖为直线段的集合。设定最大拟合误差为em，则可以通过与Hm(c,p)的比较判定拟合结果是否符合要求。

综上，同时满足连续小线段在交点处的拐角和长度以及拟合误差这3 个约束条件，就能筛选出符合条件的线段组，从而完成本文算法的预处理部分。

3.2 插补

连续小线段经过预处理后，满足约束条件的被拟合成非均匀B 样条曲线，不满足拟合条件的直线段被保留等待插补。因此，插补的内容为相邻拟合曲线之间的过渡和不满足拟合条件的线段。

当小线段间的拐角过小时，该拐点两端存在拟合的直线或曲线，需要进行PH 曲线的拐角过渡；当直线长度过长时，进行直线插补；当拟合误差过大时，选用PH 曲线进行精确拟合。整个插补算法流程如图3 所示。

3.3 拐角转接速度控制

在进行拐角转接时，由于加工速度与曲率同步变化，因此加工速度也要考虑弓高和加速度的约束限制。

（1）弓高限制下的最大速度。曲线的曲率半径为Rκ=1，Tv为插补周期，则由弓高限制下的最大速度计算如式（14）所示。

（2）加速度限制下的最大速度。设拐角处的插补速度为vc，vp为当前插补周期的速度，Δv为前后两个周期的速度差，则拐角处的加速度ac计算如式（15）所示。

在式（15）中，at为切向加速度，an为法向加速度。若设定所允许的最大加速度为acmax，则当ac≤acmax时，拐角速度vc=vp，否则vc=vp-Δv。

即拐角处的最大速度为vcmax=min{vce,vc}。

Fig.3 Interpolation algorithm flow图3 插补算法流程

4 模拟实验

为了验证本算法的有效性，将其与非均匀B 样条算法和PH 曲线算法进行对比。对刀具路径进行实验分析，其整体路径与局部路径如图4 所示（彩图扫OSID 码可见）。

Fig.4 Tool global path and local path图4 刀具整体路径与局部路径

在进行预处理时，设定相同的拟合边界条件为δmax=1μm，em=0.1mm，插补的最大速度为102mm/s，最大加速度为103mm/s2。将本文算法与PH 曲线算法进行对比，速度曲线如图5 所示（彩图扫OSID 码可见），本文算法的整个加工时间为4.733s，而PH 曲线算法需要5.062s 才能完成。本文算法比PH 曲线算法加工时间减少0.329s，加工时间缩短6.5%，提高了加工效率，体现了本文算法的有效性。

Fig.5 Speed curve comparison图5 速度曲线对比

图6 为本文提出算法与非均匀B 样条算法的拐角对比图（彩图扫OSID 码可见），局部放大角度为147.23°。可以看出，两种算法都能提高轮廓的光滑性，完成平滑转接运动，但本文提出的算法在拐角处的轮廓误差明显小于非均匀B 样条算法的过渡轮廓误差。

Fig.6 Corner comparison图6 拐角对比

5 结语

本文提出一种基于曲率连续的混合曲线高速插补算法，对不同类型的加工轮廓，采用对应的插补算法，从而达到同时满足加工效率高和轮廓平滑的要求。加工轮廓在插补之前要对其进行预处理，便于进行轮廓拟合。预处理后，针对轮廓中出现的不同曲线连接情况，分别采用相应的样条曲线实现插补，从而完成整个零件轮廓加工。

实验中将本文算法与非均匀B 样条算法和PH 曲线算法作对比分析，发现本文算法加工时间比PH 曲线算法减少6.5%，加工效率得以提高。采用本文算法得到的拐角与采用非均匀B 样条算法得到的拐角相比，轮廓更精确。

本文是从几何学和运动学出发，并未综合考虑加工过程中的铣削力等动力学因素影响。对于零件加工规划，可进一步考虑动力学约束。为进一步将其应用于生产制造，可将研究拓展到多轴加工领域。