仲菲 刘希武

[摘  要] 解析几何探究题教学时要注重思路分析、方法总结，必要时可形成相应的解题模板辅助学生解题. 文章以一道直线与椭圆问题为例，探究解题过程，提炼问题解法，生成解题模板，同时反思教学，提出相应的建议.

[关键词] 解析几何;椭圆;直线;模板;思想方法

直线与圆锥曲线方程是高中的重要考查内容，问题设问形式也较为多样，如参数范围、线段最值、弦长中点、几何面积等，问题的解析思路及分析运算是突破的难点所在，也是解题的关键. 实际上解题过程存在一些高效的模板，按照模板分步突破，构建思路可提高解题效率，下面进行解题探索.

[?]问题呈现

问题：设椭圆C的方程为+=1（a>b>0），点O为坐标的原点，点A是椭圆的上顶点，点B（，0）为椭圆的右焦点，AB的中点为点D，且OD⊥AB，试回答下列问题.

（1）求椭圆C的方程.

（2）直线l过原点，且斜率为正数，与椭圆C交于点P和Q，分别作PE⊥x轴，QF⊥x轴，设垂足分别为点E和F，连接QE和PF并延长，与椭圆C交于点M和N.

①试判断△PQM的形状;

②试求四边形PMQN面积的最大值.

[?]突破解析

上述是一道以椭圆为背景的解析几何综合题，共分两问. 第一问为传统的求圆锥曲线方程，采用待定系数法即可;第二问融合椭圆与几何图形，分为两小问，分别从几何形状和面积属性进行探究，解析的关键是联系函数与几何知识，根据对应问题的解题模板构建思路.

（1）可设椭圆的半焦距为c，由题意可得OD⊥AB，点D为AB的中点，所以b=c=，则a2=b2+c2=4，故椭圆的方程为+=1.

（2）①该问探究△PQM的形状，初步判断为直角三角形，则三角形两条直角边的斜率之积为-1，故可从直线斜率入手来构建思路. 联立直线与椭圆方程，计算相关交点坐标，推导对应直线的斜率，进而完成三角形形状判断，具体过程如下.

[?]解后反思

解析几何是高中数学的重点内容，上述基于一道直线与椭圆综合题开展解题探究，并总结了相应的解题模板，整个探究过程有着一定的教学价值，有助于学生整合知识，总结解法策略，下面基于教学实践，提出几点建议.

1. 基于属性探究解题策略

高中数学知识的内容十分丰富，问题类型也多样，针对不同类型的问题需要基于本质属性开展策略探究，形成相应的解题模板. 如解析几何的核心内容是数形结合，利用代数方程求解几何问题是常用的方法策略，可利用解析法探究图形性质. 分析时将图形置于坐标系中，让“形”与“数”对应互动，即将点转化为坐标，将曲线变为代数方程，充分挖掘坐标系图形中的几何特征，利用数式和数量关系具体化求解，具体步骤如圖1. 如上述在探究图形形状时，从斜率入手，联立方程推导直线斜率，利用斜率之积为-1的几何意义确定了图形的特征. 教学时建议采用数形结合的方法，引导学生观察直观图形，思考图形特征，引导学生从代数角度进行关联论证，逐步培养学生的空间几何观和推理论证能力.

2. 基于思路研究基础方法

解题探究需要关注解析过程中的一些常见方法、技巧，注重概括解法步骤、计算公式、优化方法等. 如探究解析几何问题时使用函数与方程思想，对于曲线上的动点，根据变化过程的相关联系来构建函数关系，将问题转化为研究变化参数的函数问题. 对于多情形或位置关系不确定的问题，合理使用分类讨论思想，深入讨论直线的斜率是否存在、直线的位置关系等. 探究解析几何中的不明直线与曲线时，采用参数构造法，基于直线斜率、曲线方程、点位置设定参数，利用参数范围刻画曲线或直线的变化范围，从而将研究对象转化为含有参数的函数、方程或不等式等. 教学中建议探究基础方法时立足方法思想，让学生理解其中的思想内涵，掌握方法精髓，培养学生的数学思想，提升学生的解题能力.