金铁强

[摘  要] 圆的垂径定理在圆锥曲线中有着广泛的应用，可有效简化解题过程，提高解题效率. 垂径定理的应用探究建议采用知识拓展的方式，即引导学生理解圆的垂径定理，开展关联拓展，总结椭圆、双曲线垂径定理的模型结论，并结合实际问题进行应用强化. 文章开展定理分析，进行应用探究，并提出相应的教学建议.

[关键词] 垂径定理;圆;圆锥曲线;斜率;模型

[?]定理分析

垂径定理是圆的重要几何定理，可用于判定直径或半径与圆中弦的特定关系，结合“线段垂直”与“直线斜率”可构建“l⊥l?k·k=-1”，这也是坐标系背景下垂径定理的应用基础，基于垂径定理可在圆中构建如下三种模型.

模型背景：直线的斜率均存在.

模型一：如图1所示，在圆O中，E为弦AB中点，则OE⊥AB，即k·k=-1;

模型二：如图2所示，在圆O中，l与圆O相切于E點，则OE⊥l，即k·k=-1;

模型三：如图3所示，AB为圆O直径，E为圆上异于A，B两点的动点，则BE⊥AE，k·k=-1.

解读：上述基于直线与圆的位置关系，构建了垂径定理的三种适用模型. 其中模型一中，弦AB与圆是相交关系，定理成立的基础是“点E是弦AB的中点”;模型二中，直线l与圆是相切关系，点E是切点，若设定点E（x，y），则可得切线l的方程xx+yy=r2;模型三中构建了圆与三角形，是“直径对直角”的应用体现.

[?]定理拓展

众所周知，圆与椭圆有着紧密的联系，可将椭圆视为是圆的挤压变形，而在挤压过程中圆的直径会发生变化，直线之间的位置关系也随之而变. 实际上垂径定理在拓展中依然适用，只是发生了轻微变化，相关直线的斜率之积变为与椭圆特征参数相关的值，即-.

下面假设直线的斜率依然成立，则圆中垂径定理模型的拓展情形如下.

（1）如图4所示，椭圆C：+=1（a>b>0），E为弦AB的中点，则有如下结论：k·k=-.

对于该结论可采用点差法证明，设点A（x，y），B（x，y），点M坐标为（x，y），由中点坐标公式可得x=，y=，则弦AB的斜率为k=，OE的斜率为k=，将点A和B的坐标分别代入椭圆的方程中，可得+=1，+=1，两式作差后可得+=0，整理可得·=-，即k·k=-.

（2）如图5所示，椭圆C：+=1（a>b>0），l与椭圆相切于E点，则有如下结论：k·k=-;

对于该结论可以采用极限思想来证明，当图4的点A无限接近点B时，则有图5的情形;另外也可用导数法来证明.

（3）如图6所示，l过中心O交椭圆于A，B两点，E是椭圆上异于A，B点的动点，则有如下结论：k·k=-.

对于上面的结论，可取AE的中点为点M，连接OM，如图7所示，则OM为△ABE的中位线，故OM∥BE，则直线OM的斜率与BE的相同. 设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（-x，-y），设点E的坐标为（x，y）. 点A，B，E三点均位于椭圆上，则满足椭圆方程，故有+=1，+=1，·=-，其中可表示直线BE的斜率，可表示直线AE的斜率，即k·k=-.

解读：上述将圆的垂径定理拓展到椭圆上，并总结了椭圆中三种模型的斜率之积结论. 结论成立的条件有两点：一是相关直线的斜率存在;二是椭圆的焦点位于x轴上. 若椭圆的焦点位于y轴上，椭圆方程为+=1（a>b>0），则上述结论的斜率定值变为-，即k·k=k·k=k·k=-.

[?]应用探究

椭圆的垂径定理拓展结论在解析相关问题中有着广泛的应用，若问题图像中可提取垂径模型，则可以较为简洁地推导直线斜率. 通常可按如下思路分析：第一步，根据题干条件理解图像，把握其中的直线与椭圆、直线与直线之间的位置关系;第二步，根据图像分析是否符合椭圆的垂径模型，若符合直接根据模型结论推导条件;第三步，结合推导条件进行问题转化，突破求解. 下面结合一道例题探究应用思路.

例1：如图8所示，已知椭圆C的方程为+y2=1，点P是椭圆C的上顶点，过点P作斜率为k的直线l，与椭圆的另一交点设为点A，设点A关于原点O的对称点为B，试回答下列问题.

（1）连接PB，试求△PAB面积的最大值;

（2）设线段PB的中垂线与y轴的交点为点N，如果点N位于椭圆的内部，试求斜率k的取值范围.

解析：本题目可归为圆锥曲线动态问题，其中直线l为过点P的动直线，已知椭圆C的方程为+y2=1，则a=2，b=1. 若设A的坐标为（x，y），点A和B关于原点O对称，则点B的坐标为（-x，-y），后续探究如下.

（1）点P为椭圆的上顶点，则点P（0，1），OP=1，可将△PAB视为同底△APO和△POB的组合，则其面积可表示为S=S+S=·OP·

x-（

-x）=

x，显然当

x取最大值时，△PAB的面积最大. 在椭圆中，当点A位于长轴端点处时，

x取得最大值，且最大值为2，故△PAB面积的最大值为2.

（2）该问题的突破有两种解法：解法一是传统的方程联立，设而不求;解法二则是引入垂径定理，从直线与椭圆的位置关系入手.

解法一：可设直线PA的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，可得

+y2=1，

y=kx+1，整理可得x[（4k2+1）x+8k]=0，方程有两个根，分别为x=0或x=-. 点P和A是直线与椭圆的两个交点，则x=-，可推知点B的坐标为

，

，则PB的中点坐标为

，

，PB的斜率就为k=-，故PB的中垂线方程为y=4k

x-+，可求得PB的中垂线与y轴的交点N的坐标为

0，-

. 由于点N位于椭圆内，则应满足-1

-8k2+1>0，可求得不等式组的解集为-

-，0∪0

，.

解法二：已知AB过椭圆的原点O，点P位于椭圆上，满足椭圆的垂径定理，由定理可得kk=-=-，因为直线PA的斜率为k，则k=-，可求得直线PB的方程为y=-x+1. 与椭圆方程联立，可推得点B坐标为

，. 设PB的中点为M，则点M的坐标为

，

，故PB的中垂线方程为y=4k

x-+，后续与解法一相同，略.

评析：上述探究直线斜率的取值范围时采用了两种解法，其中确定直线PB中垂线的方程是关键. 传统解法需要联立直线与椭圆方程，通过求根的方式来确定交点坐标，进而求直线斜率. 而引入椭圆的垂径定理则可以直接确定直线的斜率，极大地简化了解题过程，同时也避免了计算失误.

[?]深度拓展

圆的垂径定理不仅可以拓展到椭圆中，同样可以拓展到双曲线中，适用的模型也较为众多，下面列举其中常见的两种.

模型一：如图9所示，点E是弦AB的中点，则有结论k·k=;

模型二：过O点的直线l交双曲线于A，B两点，E是双曲线上异于A，B两点的动点，则k·k=.

实际解题时需要关注动点位置、直线与双曲线的位置关系，然后对照模型推理斜率乘积条件. 往往垂径定理的结论用于斜率条件的推导及转化，后续还需借助圆锥曲线的相关知识加以计算，下面结合一道考题进行应用强化.

例2：已知双曲线的方程为-=1（a>0，b>0），其左、右焦点分别为F和F，右顶点为A，点P是双曲线右支上的一点，设PF与双曲线的左支相交于点Q，与渐近线y=x的交点为R，线段PQ的中点为M. 如果RF⊥PF，AM⊥PF，则双曲线的离心率为________.

解析：由直角三角形斜邊中线等于斜边一半可得OR=c，则点R（a，b），所以直线PQ的斜率为k=，由垂径定理可得k·k=，可推得k=. 联立直线PQ和OM的方程，

y=（x+c），

y=

x，可推得点M

，

，点A（a，0）. 由k=-=-可得2a2-c2+ac=0，即e2-e-2=0，可解得e=2.

评析：本题目求双曲线离心率的难点主要集中在曲线与直线、三角形的性质解析上，上述充分利用双曲线的垂径定理推理直线的斜率，简化了求直线方程的过程. 垂径定理使用时需关注两点：一是否满足使用条件;二是确定对应的模型.

[?]反思总结

圆锥曲线中的垂径定理有着广泛的应用性，深刻理解定理，把握定理模型，总结应用技巧是探究学习的重点，同时也是教学的难点，下面提出几点建议.

建议一：类比探究，理解定理

椭圆和双曲线的垂径定理又称为第三定义，在理解上存在一定难度. 教学中建议采用类比探究的方式，即先引导学生理解圆中的垂径定理，总结定理结论，然后拓展探究，将定理类比到椭圆和双曲线中，帮助学生深刻理解，强化定理.

建议二：数形结合，模型总结

垂径定理是基于一定的数学模型形成的规律结论，理解模型与结论的对应关系是关键，也是定理应用的基础. 教学中建议采用数形结合、模型总结的方式，即引导学生探究定理成立的条件，提取所涉直线，基于曲线方程归纳结论. 从上述探究过程可知所涉模型较为众多，教学中可重点归纳，总结模型特征，完善垂径定理的模型体系.

建议三：总结策略，强化应用

垂径定理有着极高的应用价值，指导学生掌握应用方法是教学重点. 学生在应用时存在一定的误区，容易忽视定理成立的条件. 教学中有必要关注定理成立的条件，总结相应的应用策略，可构建“图像解读→条件探索→关联模型→应用转化→问题破解”的解题步骤，即引导学生先理解图像，判断定理是否可用，然后基于定理模型进行应用转化，最后完成问题解答.