郭培华

[摘  要] 教育的进步促进了社会的发展. 在新课改过程中，研究者发现探究法具有操作灵活、成效显著等优势. 同时，它对学生高阶思维的形成与发展具有重要作用. 鉴于此，文章就探究法在概念教学、公式定理类教学及解题教学中的应用展开讨论.

[关键词] 探究法;概念;教学

随着新课改的深入，探究法展现出了不菲的价值. 它能转变教育者根深蒂固的传统观念，尝试用新的技术或方法鼓励学生自主探索知识的发生与发展过程，让学生在实践中获得新识与创新意识[1]. 探究法具有较强的灵活性与操作方便等优势，它能点对点地挖掘学生思维的宽度与深度，让数学课堂焕发出新的生命力.

探究法在概念教学中的应用

概念是数学的基础，是学生发展数学思维的起點. 作为教学的重点与难点，笔者在概念教学中尝试过多种教学方法. 实践证明，将探究法运用到概念教学中，能让学生形象地感知概念的形成过程. 学生对亲身体验后构建而成的概念的理解，比传统的教师直接讲解更为深刻. 而用探究法进行概念教学是帮助学生构建概念的基本手段.

案例1：“函数的周期性”的概念教学.

问题1：观察图1，画出角α的正弦线;

问题2：若角α的终边进行逆时针旋转（绕原点O），则角α的正弦线会发生怎样的变化？变化具有什么规律？

这两个问题的设计，主要是为了巩固学生原有的知识点，引导学生感受正弦线周而复始的变化规律，以激发学习兴趣. 在学生给予正确的解答后，教师可提出下一个问题让学生思考与探究.

问题3：观察图2，整合自己的语言，描述一下正弦函数的图像出现图中这种周而复始变化规律的现象.

问题4：有没有哪个公式能反映出图2所呈现的变化规律？

问题5：如果函数f（x）具有图2所呈现的变化规律，我们可用怎样的代数式来描述？

设计问题3的目的在于鼓励学生从不同的视角去观察与探究问题，本题是为了让学生转变观察的角度，用自己的言语描述图中这种规律的现象. 在学生思维得以拓展以后，问题4则顺势而出. 学生通过对诱导公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）的回忆，明晰这个周而复始规律的代数刻画形式，从数形结合方面提出用“周期性”的概念来刻画这种规律的变化. 问题5需要学生用逆向思维与数学符号语言来描述相应的规律，“周期与周期函数”的概念则由此自然而然地形成.

以学生原有的认知结构为出发点，通过对函数解析式及图像的特点进行探究，对周期性产生了深入的了解，并以周而复始的变化规律为导火索，让学生从探究中经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维历程，深化学生对知识的理解程度，以及形成良好的思维能力.

探究法在公式、定理等教学中的应用

传统的教学方式是让学生机械性地记忆公式、定理等. 这些固定的公式、定理等都是前人经过不断实践与探索逐渐发现的. 若让学生死记硬背，难以达到融会贯通、灵活使用的效果. 因此，教师应引导学生了解这些公式、定理的来龙去脉. 只有经过自主探索与构建知识的过程，才能让知识真正地内化到学生的认知结构，能让学生灵活运用知识所蕴含的数学思想.

案例2：“等比数列求和公式”的教学.

本章节内容作为数列求和问题中的重要内容之一，在高中阶段的数学教学中占有举足轻重的作用. 不少教师考虑用等差数列求和的方法（倒序相加法）来进行知识点的衔接，笔者也做了一定的尝试，在等比数列求和的问题中运用倒序相加法来进行教学.

实践发现，倒序相加法的实质是在两式相加后产生相同项，而这在等比数列求和的问题中并不能产生相同项. 那么，怎样能产生相同项呢？研究发现，用公比乘数列的各项，得数恰巧是它们各自后面的一项. 如此，相同项便找到了.

等比数列{a}的前n项和为S，S=a+a+a…+a. 用等比数列的通项公式可将此式化为S=（q≠1）（过程略）.

教学中，不少教师将此结论的形成分解成若干个小步骤，通过阶梯式的铺设、设问与诱导等，让学生的思维沿着教师的思路而前进，直至结论的形成. 其实，高中生的思维远远比我们想象的强大，教师若给予学生更多的机会，让学生从自己的视角探索这部分内容，则会让课堂发生别样的光彩.

如在教学中，学生提出了以下几种思考方式：

生1：在式子S=a+a+a…+a的两边都乘q，可得qS=aq+aq+aq…+anq. 后式减前式可得S=（q≠1），而当q=1时，S=na.

生2：由等比数列的通项可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，将这n-1个等式两边分别相加，可得S-a=Sq;S是我们待求的项，因此可将Sq转化为（S-a）q，由移项可得S=a+（S-a）q，所以S=（q≠1），S=na（q=1）.

学生在自主探究中，运用叠加法与等式S-S=a（n≥2）完成了对等比数列求和公式S的推导过程. 类似于此的方法，还有错位加减法等.这些都会在练习中大量出现与使用.

学生在等比数列求和公式的推导过程中，经历了问题的发现、提出、分析与解决过程，再通过反思与对比获得相应的结论. 此探究过程是一次有意义的尝试，拓展学生思维的同时，对学生观察、推理与归纳能力的培养有一定的促进作用.

探究法在解题教学中的运用

解题能力反映了学生对知识的掌握与运用程度. 实践证明，探究法运用于解题教学中能有效地挖掘数学的本质与知识的内涵. 探究试题不同的解决办法，或变式的讨论等，能将知识之间的联系暴露出来，帮助学生更好地构建新的知识体系，为知识的融会贯通与灵活运用奠定基础[2]. 因此，解题教学的探究能让学生感受学习的成就感，促使思维的发展.

案例3：“直线与圆锥曲线的位置关系”的教学.

原题：已知椭圆C：+=1，一条直线l的方程为y=ax+b.

问题1：若想让椭圆C与直线l相交，试写出a，b的值.

此问具有多种答案，对学生而言本题难度并不大，想要探寻此题的答案，可从a，b之间的内部联系着手思考. 此设计起点不高，坡度也比较小，恰到好处地激发了学生的好奇心，推动了他们的学习动机，这为接下来的问题打下了良好的基础.

问题2：若椭圆C与直线l相交，a与b应呈怎样的关系？

问题1只需要写出符合题意的一组数值即可，而问题2则在此基础上提出了深层次的要求，至于a与b这两个值之间是否存在一定的规律，是值得学生探究的问题. 在学生对问题1有初步思考的情况下，面对此问会自然地运用从特殊到一般的思想，通过探究便不难获得问题的答案.

问题3：如果a+b=1，则椭圆C与直线l之间是怎样的位置关系？

此问其实与前两问呈一种前后呼应的关系. 学生可以从几何的角度，即从直线l过点（1，1）来探究;也可以从代数的角度，即从问题2所获得的结论来探究. 这几个问题一环套一环地设计，让学生在探究过程中充分感悟从特殊到一般的思想. 此过程完美地体现了探究教学法的作用与学生思维发生、发展的过程.

问题4：为本题添加一个条件，求出直线l的方程.

此问与以上几问相比，开放的角度更大，需要学生用更大的参与度去思考与探究. 不同水平层次的学生在此问中呈现出了不一样的答案. 学生经过探究后添加的条件涉及弦长公式、韦达定理、点到直线的距离与中点坐标公式等. 总之，每个学生都充分发挥了自己的能力，想出各种方法为本题添加条件，锻炼思维的同时也锻炼了学生的命题能力.

问题5：若将椭圆C的方程改为双曲线方程-=1，请在问题4中所补充的条件里，选择一个条件求出直线l的方程.

此问以变式的形式展现了学生知识的迁移能力. 纵然题目会出现万般变化，但探究方法与数学思想却不会改变[3]. 因此，掌握具有普遍意义的方法是实现知识迁移的基本保障.

总之，不论是概念、定理、公式的教学，还是解题的教学，均可运用探究法找准问题的突破口，挖掘学生思维的宽度与深度，促使学生在知识的构建中形成高阶思维. 探究教学法的实施是优化数学课堂教学的基本手段，也是培养学生数学核心素养的基本方法.

参考文献：

[1]  王华民. 数学课堂局部探究的实践与思考[D]. 吉林出版社，2018.

[2]  乔治·波利亚. 数学的发现（第二卷）[M].刘景麟译. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981.

[3]  唐国庆. 高考数学高分策略[M]. 長沙：湖南教育出版社，2005.