覃雪冰,陆 莎,胡红红

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

1 引言

本文考虑非线性方程组

F(x)=0,

(1.1)

其中,函数F(x):Rn→Rn连续可微,并假设(1.1)的解集X*非空.文中,符号‖·‖表示矩阵或向量的2-范数.

牛顿法是求解非线性方程组的一类重要迭代方法,而Gauss-Newton方法是求解非线性方程组的一类基本方法.Gauss-Newton方法的迭代步为

其中Jk=F′(xk)是F在xk处的雅可比矩阵.在F(x)的雅可比矩阵在解值点非奇异且Lipschitz连续等条件下,牛顿法具有二阶收敛速度.为了克服牛顿法在雅可比矩阵奇异或接近奇异时无法求解的缺陷,不少学者对算法进行了改进.比如Levenberg[1]和Marquardt[2]提出了Levenberg-Marquardt(LM)方法.LM方法的主要迭代步为

(1.2)

其中Fk=F(xk),λk是一个非负参数.易见，dk1是凸函数

(1.3)

的极小值点.另一方面，如果记

则dk1也是信赖域子问题

(1.4)

该LM参数是对(1.4)的进一步推广.

另一方面,为节约雅可比矩阵的计算量,Fan[9]提出一种改进的LM方法,该方法在每次迭代中除了计算一个LM步dk1，还计算一个近似LM步

(1.5)

类似于dk1,dk2可视为凸函数

的极小值点.若令

则dk2也可以看成是信赖域问题

的解.关于含有一个近似步LM方法的推广可见文献[10]和[11],二者均在一般LM参数下对带一个LM步和一个近似LM步的方法进行改进,得到三阶收敛速度.在上述文献的基础上本文给出推广的LM参数,从而得到一个改进的算法，该算法在每次迭代中不仅计算一个LM步,而且计算一个近似LM步用以减少对应的雅可比矩阵的计算量,同时利用信赖域的思想确定是否接受试探步和更新LM参数的规则。最后讨论算法的全局……