何雪晴，韦煜明

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541000)

1 引言

1927年Kermack和McKendrick[1]提出了著名的SIR仓室建模方法，为传染病动力学的研究打下了坚实的基础.由于染病者在康复后其免疫力一般会随着时间的推移逐渐丧失，这可能导致恢复者类中的宿主再次被感染而成为易感者，所以，为了研究这类传染病的长期影响，Anderson 和May[2]提出了如下的SIRS传染病模型：

(1)

考虑到传染病的传播具有随机性，生活中的环境白噪声无所不在，研究者们通常用Gauss 白噪声来刻画外部环境对系统的随机扰动[3,4].但是除白噪声外，传染病模型也可能受到彩色噪声的干扰，它会导致系统从一种环境状态切换到另一种环境状态[5,6,7]，而且在一般情况下，环境状态之间的切换是无记忆的，下一次切换的等待时间遵循指数分布，所以这种切换可以用连续时间马尔可夫链{r(t),t≥0}来描述.对于这种情况，可以将外部环境的随机扰动引入到确定性模型(1)中，再根据环境中的一些不同条件，如湿度、光照和降雨等，将其分为N种状态，记状态集为={1,2,…,N}.

鉴于此，我们考虑外部环境对模型(1)的两个重要参数β和μ同时进行扰动，研究具有非线性发生率且白噪声和彩色噪声同时存在的随机SIRS传染病模型

(2)

其中S(t)表示t时刻未被感染但是可能会被感染的易感者数，I(t)表示t时刻已经被感染且具有传染性的感染者数，R(t)表示t时刻从感染状态恢复且具有免疫力的恢复者数，Λ为易感者的输入率，μ为自然死亡率，λ为恢复者的免疫……