胥庆

[摘  要] 三角形的“四心”中隐含了一定的特征性质，从向量视角深入剖析可获得相应的向量结论，对于探索定义本质，破解几何与向量问题有着一定的帮助. 文章结合实例拓展探究三角形的“四心”，并深入反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 三角形;四心;向量;共线;建模

探究背景

平面向量既是高中数学的重点知识，也是研究数学的工具，可实现几何与代数问题的互化，即可利用向量将几何问题代数化，也可将代数问题几何化. 向量与几何有着紧密的联系，可借助平面向量来研究三角形的“四心”，即重心、垂心、内心和外心. 三角形的“四心”是从几何视角进行的定义，“四心”对应了一定的几何性质，实际上可从向量视角探寻“四心”与向量的关系，探究过程需立足性质定义，构建知识关联.

反思总结

三角形“四心”的定义性质较为简单，从向量视角来分析则可以获得独特的结论，这也是高中对“四心”考查的重要形式，即从向量视角对三角形定量分析，挖掘性质定理的内涵. 而在实际教学中建议采用分环节探讨、递进式挖掘的方式，逐步探讨知识本质，构建解题思路.

1. 立足定义，探究性质

三角形的“四心”定义容易理解，探究学习的重点是挖掘性质，形成知识链. 以三角形“内心”为例，其是角平分线的交点，由角平分线的性质可知内心为三角形内切圆的圆心，从而形成“内心定义→角平分线性质→内切圆关系”的知识链，同理可知三角形的“外心”与三角形外接圆密切相关. 教学中教师可以采用对比探究的方式，分析三角形“四心”的性质特征，进行知识关联，深刻理解定义背后的知识本质.

2. 向量分析，总结结论

向量是研究几何图形的重要工具，可将传统的性质定理转化为代数运算，实现几何定量分析，相较于传统的几何推理，该方法体现了向量中数与形的二元结合，这也是从向量视角探究三角形“四心”的意义所在. 利用向量分析三角形“四心”，应注重两点：一是体现定义的性质特征，二是论证向量结论. 在探究过程中，教師要注重推理的逻辑性，引导学生把握证明原理，灵活运用共线、等积、变形等方法技巧，由此提升学生的论证能力.

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