朱钊

[摘  要] 函数是贯穿中学数学知识的主线，函数的概念及其性质是学生学习的重难点，且传统教学较难突破. 文章例谈了GeoGebra软件在函数教学中的相关案例，包括函数的概念、单调性、奇偶性、各参数与函数图像之间的关系，以及函数定点问题的相关案例，从数形结合的角度、以趣味的方式帮助学生发现并总结函数蕴藏的性质及变化规律，改善学生函数的学习方式.

[关键词] 信息技术;GeoGebra;中学函数教学

引言

信息技术与中学数学课程相结合是新课程标准的理念之一. GeoGebra作为一款自由且跨平台的动态数学软件，兼具“函数”“图表”“集合”等功能，能够同时处理代数与几何，能够动态化对象，功能强大，使用简单，交互性强[1]. 函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，是贯穿中学数学知识的主线，函数的相关概念及其图像与性质是学生学习的重难点. 对函数基本概念的不理解、对函数图像的不明晰以及对函数模型的不敏感等是学生学习函数的惯性困境[2]，而传统教学较难突破. 在此背景下，GeoGebra软件的辅助教学可以使教学动态化、视觉化，从数形结合的角度、以趣味的方式帮助学生发现并总结函数蕴藏的性质及变化规律，改善学生函数学习方式，大大提高了数学学习效率.

函数概念的课件案例

1. 教学分析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对于函数概念的教学要求在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数中的作用[3]. 高中数学中的函数基本概念比初中学过的函数概念更抽象、更精细、更准确. 建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征. 由于定义方式的高逻辑性与抽象性，学生难以理解对应关系的本质. 在传统教学下，教师给出一个具体的函数表达式，学生可以理解每取一个x值都有唯一一个对应的y值，但这仅停留在代数阶段，割裂了代数与几何的结合. 若通过描点法画图，可以得出几个点之间的对应关系，但这又无法将这几个点一般化，学生无法深层次理解函数概念的本质. GeoGebra作为动态数学软件恰好可以弥补这一不足，教师可以直接列举学生熟悉的案例，应用GeoGebra软件动态演示函数的定义域和值域，体现出任意一个x值都有唯一一个对应的y值，由此进行深层次探究.

2. 演示过程

首先在输入框中输入函数y=x3+2x2-5x+2，绘制该函数的图像. 特别需要注意的是，在输入过程中应将输入法先切换为英文输入法. 其次，制作该图像的定义域与值域. 使用“对象上的点”这一功能在x轴上任取一点A，利用“平行线”功能过点A作关于y轴的平行线，与图像的交点即为A在图像上的对应点B，使用“垂线”功能过点B作y轴的垂线，与y轴的交点为C.

此时可以得到三个点，即点A，B，C. 我们发现点C即为点A在y轴上的对应点，一个x值对应一个y值，在传统教学中通过画图也可以得到. 那么，如何让学生理解两个集合之间的对应关系呢？如何理解在自变量x变化过程中都有唯一一个y值与其对应呢？GeoGebra软件在此案例中的“追踪”功能可以弥补传统教学中无法动态演示、无法让學生几何直观的缺陷. 将点C右击选择“追踪”功能，拖动控制它的点即自变量点A，或者建立滑动条，追踪点C的运动轨迹. （见图1）

在这一过程中，改变点A的位置即改变函数的定义域，定义域改变后则会跟踪到点C的运动轨迹，即值域的变化情况. 那么，点A的值每改变一次，即会出现一个新的轨迹点. 通过绘制过程，我们可以明显观察到，在函数图像上，每一个x值都有唯一一个与之对应的函数值y，从而深刻理解函数概念中集合之间的一一对应关系.

函数奇偶性的课件案例

1. 教学分析

函数的奇偶性是函数的基本性质之一，刻画的是函数图像的对称性. 一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=f（x），那么就把函数y=f（x）叫作偶函数，而对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）= -f（x），那么就把函数y=f（x）叫作奇函数. 在传统教学下，关于奇偶性这一特性的引入是从数量关系来描述的，学生对于偶函数性质的理解可以借助二次函数图像. 对于奇函数，课本上给出了界定方式：f（-x）=-f（x），关于原点中心对称. 传统教学中的奇偶性教学无法体现自变量取值的任意性与动态性，要将学生的思维从静态转化为动态，可以利用GeoGebra绘制数值列表，观察图像上的点对应的横坐标与纵坐标之间的关系，或将函数图像关于原点旋转180°，通过动态展示加深学生对奇偶性本质的理解.

2. 演示过程

首先，绘制一个奇函数y=2x-2-x. 其次，为了体现f（-x）与f（x）的关系，需要在表格区绘制一个数值列表. 在Excel表格中从A1到A7分别输入-3到3（间隔为1）的一列数据，在B2中输入“f（A1）”，将表格下拉至“f（A7）”，可以自动得到相应的函数值，观察自变量与函数值可以发现：f（-3）=-7.88=-f（3），f（2）=3.75= -f（-2）. 这是传统教学中通过画图也可以得到的信息. 那么从动态的角度，可以用“对象上的点”在函数图像上取一点A，使用“中心对称”功能作出点A关于点O的中心对称点A′，分别右击A与A′将横坐标与纵坐标记录在表格区;然后拖动点A，表格中将记录两点的运动轨迹，观察对称点的函数值之间的关系，可以发现：自变量相反，函数值也相反，即对于函数f（x）=2x-2-x定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）=2x-2-x就是奇函数（见图2）. 这是从“数”的角度体现奇函数的代数性质.

同样，运用GeoGebra软件还可以从“形”的角度体现奇函数的几何性质：选择“旋转”功能将整个函数图像以原点为中心旋转180°，旋转之后与原图像重合.（见图3）

上述操作可以直接得出旋转后的函数图像，在教授过程中还可以向学生演示其旋转的动态过程. 首先建立关于旋转角度α的滑动条，设置旋转区间，比如最小值0°，最大值180°. 选择“旋转”功能将整个函数图像旋转角度α，可以发现旋转180°时与原图像重合，得到奇函数关于原点中心对称的性质. （见图4）

GeoGebra软件同样可以用来验证函数的奇偶性. 比如在输入框内输入sinx，绘制该函数的图像. 用同样的方法，在输入框内输入sin（-x）和-sinx. 可以在代数区看到三个函数的表达式，在绘图区看到三个函数的图像. 隐藏函数g（x）= -sinx的图像，只显示其余两个函数的图像，发现两个图像没有重合，说明函数f（x）=sinx不是偶函数;而隐藏函数f（x）=sinx的图像，显示另外两个函数的图像，发现图像重合，说明函数f（x）=sinx是奇函数. （见图5）

函数单调性的课件案例

1. 教学分析

函数的单调性是函数的基本性质之一，刻画的是函数的变化趋势. 一般地，当函数f（x）的自变量x在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随之增大（或减小）. 函数f（x）的这两种性质叫作函数的单调性. 学生认识函数的单调性是先从初中的形象描述阶段逐渐过渡到高中的抽象概括阶段，而在初中数学中，学生接触的绝大部分都是静态的数学对象，进入高中后要用静态的数学符号刻画动态的数学对象对学生来说是一个难点. 例如，在判断函数f（x）=x2在[0，+∞）上的单调性时，学生最常见的错误就是在给定区间里取两个数，比如1和2，因为12<22，所以判断f（x）=x2在[0，+∞）上单调递增. 因此在学习该性质时，教师可以利用GeoGebra软件演示函数的动态变化，将有限验证扩大到动态下的无限，以数形结合帮助学生理解函数单调性的本质，有效突破难点.

2. 演示过程

GeoGebra软件可以用于函数单调性的导入部分. 例如，首先绘制出函数y=x3+2x2-5x+2的图像，其次在图像内构造该函数的单调区间. 选择“极值点”功能，点击函数会自动出现两个极值点A，B，在函数图像上选取单调递减区间. 对于此时的单调递增区间，可以设置隐藏按钮，研究起来会更加直观清晰. 在递减区间中任选一点E，构造点E在函数上的对应点F，选择点E右击“追加动画”，选择左下角的播放键让播放暂停，可以观察到动画内，当自变量x从点A的横坐标-2.12移动至点D的横坐标0.79时，x的值越大，所对应的函数值从12.06下降至-0.21，越来越小，即任意取-2.12≤x<x≤0.79，都有f（x）>f（x）. 在这个环节中，让学生领悟到两点：一是所取的自变量具有任意性;二是比较对应的函数值的大小. 同样，在演示过程中，我们可以选择“函数检视”，通过列出各个点的坐标，也可以观察到：当xy. 借助此演示，让学生进一步归纳概括出函数单调性的文字语言表达及数学符号表达，深化学生对单调性的理解. （见图6）

函数各参数与图像之间的关系的课件案例

1. 教学分析

二次函数的各参数变化对函数图像的影响是教学的难点. 在传统教学中，大部分学生仅仅将函数看作是表达式，割裂了各参数与图像之间的关系，难以从运动变化的角度理解其本质特征. 而GeoGebra软件可以动态演示出三个参数的变化所引起的函数图像的变化，突破了传统教学.

2. 演示过程

首先可以在自定义区间内建立三个参数滑动条a，b，c，比如自定义区间是[-20，20]，在输入框中输入a=1，b=-5，c=3，然后在输入框中输入y=ax2+bx+c，绘图区就会显示出函数y=x2-5x+3的图像. 教师可以多做几次实验，只拖动滑动条a时，观察函数图像的变化，可以发现参数a决定抛物线开口的方向和大小. 当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下. 当a越大时，抛物线的开口越小;反之，当a越小时，抛物线的开口越大. 当只拖动b的滑动条时，可以发现参数b改变的是函数图像的对称轴以及它的顶点. 当只拖动c的滑动条时，可以发现参数c决定了抛物线与y轴的交点位置. 当c>0时，函数与y轴交于正半轴;当c<0时，函数与y轴交于负半轴. 通过GeoGebra软件的演示，可以使学生很快达成对以上规律的共识.

除此之外，我們还可以探究更多的数学奥秘. 比如各参数之间的关系，当a，b同号时，观察可得二次函数的对称轴在y轴左侧;当a，b异号时，对称轴在y轴右侧;当b=0时，对称轴就是y轴. 以及a，b，c共同决定判别式Δ=b2-4ac的符号，进而决定函数图像与x轴的交点问题. 当Δ=0时，与x轴只有一个交点;当Δ>0时，与x轴有两个交点;当Δ<0时，则没有交点. 这可以转化为一元二次方程根的情况、零点问题，让学生深刻体会到函数是贯穿中学数学的主线，体会数形结合与分类讨论思想. （见图7）

同理，在GeoGebra软件的使用下，学生也能快速领会A，ω，φ三个参数的变化对三角函数y=Asin（ωx+φ）图像变化的影响. GeoGebra软件建立了数与形之间的关系，有利于函数教学的整体把握，有利于函数知识结构的整体建立.

函数解题的课件案例

Geogebra软件同样可以用来进行解题验证，诸如函数的定点问题、零点问题、轨迹问题等. 下面以2020年高考数学全国一卷中的一道定点问题为例：

已知A，B分别为椭圆E：+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，·=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. （1）求E的方程;（2）证明：直线CD过定点.

对于问题（1）的求解，通过已知可得A（-a，0），B（a，0），G（0，1），即可求得·=a2-1，结合已知可求得a2=9.

对于问题（2）的求解，考查的是计算能力与转化思想、推理论证能力，属于难题，可以使用Geogebra软件得到或者验证问题（2）的答案.

首先根据题意构建场景，切换英文半角符号，在输入框内直接输入：椭圆+y2=1以及直线x=6，左、右顶点分别为A，B，上顶点为G. 使用“对象上的点”在直线x=6上任取一点P，连接直线AP与直线BP，与椭圆分别交于另一点C与另一点D，连接CD. 为显示清晰，将直线CD用红色标记，并右击“开启追踪”. 拖动决定直线CD变化的起始点P，直线CD随之运动并自动显示出直线CD的运动轨迹，如图8所示. 通过观察图像，可知直线CD恒过定点，0.

对于轨迹问题、定点问题等都可以通过GeoGebra软件来验证答案，同时可以根据答案帮助思考，产生思路. 但是需要注意的是，信息技术只是辅助教学的一种工具，在求解答案的过程中，还是需要认真思考并及时归纳总结.

总结

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，是贯穿中学数学知识的主线. 数形结合是函数学习的重要思想之一，传统教学中的函数教学无法将数字动态化、可视化，GeoGebra软件的辅助可以突破传统教学中的不足，帮助学生深刻理解函数的变化规律及性质.

教师在运用GeoGebra的同时，可以教授学生使用方法，提高学生的主体意识，培养学生自主学习的能力. 特别需要注意的是，信息化设备只是用来辅助教学的一种手段，教师应加强自身的专业能力，处理好信息化与教学内容之间的关系，拓展信息化与其他教学方面的联系，发挥出信息化教学的最大优势.

参考文献：

[1]  http：//baike.baidu.com/item/geogebra.

[2]  司业佳. Geogebra：辅助函数教学的利器[J]. 数学教学通讯，2018（24）.

[3]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

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