莫照发

[摘  要] 计算教学中强调学生对“算理”（计算原理）的理解，这对于发展学生的数学素养和思维能力具有非常重要的意义。根据深度学习理论，计算教学强调学习者对算理的理解，突出对计算方法的本原性追问与思考，深度学习理论视角下的算理教学，就是强调在计算教学过程中，超越传统的以掌握算法为重点的教学要求，达成对算理的深层理解，顺利实现有意义的学习。深度学习理论视角下的算理教学策略包括：利用生动的现实情境，在真实问题中理解算理;提供丰富的感性材料，在全面参与中理解算理;创设问题探究任务，在表达交流中理解算理。

[关键词] 计算教学;算法;算理;深度学习;理解

计算教学是中小学数学教学的重要组成部分，有助于培养学生的数学运算能力，形成核心素养。我国数学教学一贯重视对学生计算能力的培养，但计算教学过于注重方法、技巧的操练，缺乏对计算教学整体上的真正理解[1]。对于一线教师而言，计算教学看似简单，普遍认为在其教学过程中只涉及知识与技能的应用，通常没有太大的教学难度;对学生而言，解答计算题也远没有解答几何题、应用题等困难，通常只需要根据计算法则和特定的运算程序，即可保證较高的正确率。因此，计算教学在传统上更偏重于“算法”（计算方法）教学，即更多地强调学生掌握计算方法。事实上，计算教学是数学教学中需要重新审视的教学领域，除了强调学生掌握计算方法以外，还应突出隐藏于算法之中的计算原理（以下简称“算理”）。根据近年来有关深度学习理论的研究，计算教学强调学习者对算理的理解，是课堂教学中不可或缺的一面，对发展学生的数学素养和思维能力具有非常重要的意义。

一、深度学习理论简析

深度学习（Deep Learning）是对学习状态的质性描述，强调对知识本质的理解和对学习内容的批判性利用，寻求有效的学习迁移和真实问题的解决，属于以高阶思维为主要特征的高投入性学习[2]。传统的以单纯获取知识与依靠记忆掌握算法为主要特征的计算学习，根本上讲是一种浅层次的认知活动。深度学习则是一种以高阶思维（如分析、综合、评价、创造等）为主要认知活动的学习过程，它强调对复杂概念或知识的理解与运用，其发生基于理解、面向问题解决，具有建构性学习特征。深度学习的主要特征包括：

（1）强调对知识的理解。深度学习理论认为，知识的获得并非简单的知识叠加与记忆，而是建立在理解基础上对知识的整合与运用。因此，深度学习过程要求学习者将新知识与原有认知结构建立起非人为的、本质的联系，需要学习者对学习内容寻根究底，深入探究知识背后蕴含的数学原理和思想方法，从而实现对知识的再创造和意义建构。

（2）实现有意义的学习。深度学习要求从学习结果上实现广泛的学习迁移[3]。数学有意义的学习有一个重要的特征便是实现知识的广泛迁移。迁移是学习者在某种学习活动中将获得的知识和技能合理运用于其他情境的能力。通过深度数学学习活动，学习者在理解和掌握结构化知识和技能的基础上批判性吸收学习内容，再将非结构化的知识和技能应用于新的情境，实现有意义的学习。

（3）促进学习者高阶思维的发展。深度学习要求学习活动围绕学习者高层次心智活动层面展开。通常较低阶的思维活动包括模仿、记忆、了解等，较高阶的思维活动包括分析、综合、评价、归纳、演绎、反思等。深度学习就是一种由低到高、由表及里逐渐深入的学习过程，可以促进学习者深入理解所学内容，形成问题意识，掌握探究方法。

总之，深度学习是一种以发展学生高阶思维为主要目标的学习活动，是基于理解的有意义的学习。

二、深度学习理论视角下算理教学的内涵

根据深度学习理论，培养学生的数学计算素养，不仅要求掌握与计算相关的基础知识、运算法则、计算技能，更重要的是理解计算方法背后隐藏的计算原理，即对计算方法这一类“知识和技能”进行“为什么”的本原性探究。深度学习理论视角下的算理教学，就是强调在计算教学过程中，超越传统的以掌握算法为重点的教学要求，达成对算理的深层理解，顺利实现有意义的学习。《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，“理解”不单是能够描述对象的特征，还要明确其由来，以及阐述此对象与相关对象之间的区别和联系[4]。“理解”意味着所学知识的“转化”（Transform）而不是“囤积”（Banking），即学习者必须对所学知识进行加工，并将其与自身已有的知识和经验联系起来，使之成为有意义的东西[5]。如果说算法教学的核心问题是明确“先干什么，再干什么”等程序性知识，那么算理教学的核心问题就是明确“为什么要这样”“为什么可以这样”等陈述性知识。以“两位数乘两位数”（人教版三年级下册）的乘法问题为例，从计算的笔算方法来说，是“乘数的相同数位对齐，先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，积的末位与乘数的个位对齐;再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，积的末位和乘数的十位对齐”，这属于算法层面的问题。但对“为什么积的末位要和乘数的十位对齐”“为什么积的末位不与乘数的个位对齐”（注：指第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数）等问题的深刻理解，则是算理教学需要重点关注的层面。有研究者指出，算理相对于算法而言，更应是计算教学的重中之重[6]。单独从计算的准确性来讲，在大量训练的基础上，大部分学生都能掌握某种特定的算法，但只有少部分学生真正懂得内在的算理。因此，对算理的理解既是计算教学的重点，也是计算教学的难点。

根据深度学习理论可知，计算教学应由“掌握算法”为主的学习结果过渡到“理解算理”的计算本质。深度学习理论下算理教学的重要价值在于促进学生高阶思维的发展，促进广泛的学习迁移。通常，相对于学生的年龄特征和学习心理，计算的方法比较容易掌握，但是计算的原理则不容易理解或者在教学中往往被教师所忽视[7]。比如多位数的乘法，无论是一位数乘两位数，还是两位数乘两位数，等等，其计算原理都是相同的。因此，一旦学生真正理解了计算原理，则可以实现广泛的学习迁移，关于算法的学习也就演变成了以发展高阶思维为主的学习活动。

三、深度学习理论视角下的算理教学策略

1. 利用生动的现实情境，在真实问题中理解算理

深度学习重视真实问题的解决，因此教师要善于利用具体的生活情境引导学生理解算理。以“四则混合运算”（人教版四年级下册）的算理教学为例，在形如“6+8×3”的计算教学中，教学的重点和难点在于对四则混合运算顺序的准确理解，即对“为什么先算8×3，而不是先算6+8”的理解。为帮助学生理解算理，教师可以创设学生熟悉的生活情境：“一个单价6元的铅笔盒和一本单价8元的儿童书， 问购买1个铅笔盒和3本儿童书，总共需要多少钱？”利用学生日常生活中的购物经验，学生很容易明白“（6+8）×3”与“6+8×3”的区别，从而深刻理解四则混合计算中遵循的“先乘除后加减”的算理。

2. 提供丰富的感性材料，在全面参与中理解算理

深度学习重视学生的探究和体验，因此计算教学中要善于利用教具、学具等进行算理的直观演示。许多低年级的计算教学，过程看似簡单，但让学生真正理解算理则不容易。例如，“20以内的进位加法”（如“9+6”）（人教版一年级上册）教学中，从计算方法来看，有“数数法”“凑十法”等多种计算方法可以解决问题，但从算理来看，很多学生都难以理解“凑十法”的算理。为此，在教学中可以利用小木棒辅助算理教学，让学生通过学具操作明白无论是凑“9+1”还是凑“6+4”，其原理都是一样的，即都是把零散的小木棒凑成“整捆”，而这一捆的木棒都是“十”，因此它们在算理上是一样的。小学生由于年龄小，抽象思维能力较弱，在算理教学过程中不能较长时间集中注意力听课，容易感到枯燥而难懂，教师利用生动的教学资源往往能够调动其行为、认知和情感全面参与，从而达到很好的教学效果。对于一些计算公式及法则的理解，可以充分利用数形结合思想，通过几何直观实现对算理的意义建构。

3. 创设问题探究任务，在表达交流中理解算理

深度学习相关的研究表明，把学习置于复杂的、有意义的问题情境中能够引领学生真正经历数学核心问题的探究过程，走向数学意义的深刻理解和深度建构[8]。协作与对话是深度学习的有效实施途径，学生通过语言表达、同伴交流，能够增进对知识和技能的理解[9]。因此，计算教学过程中，教师要精心设计学习内容，善于组织课堂合作学习活动，让学生在合作交流中达成对算法意义的理解。教师在课堂提问时要注意多问几个“为什么”，让学生通过合作探究、独立思考、语言阐释，增进对算理的认知。例如，若在“多位数的乘法”（人教版三年级上册）中遇到中间有0的乘数，除一般算法以外，向学生追问“为什么0乘另一个乘数这一过程可以省略不写？”在“两位数乘整十数”中，追问“为什么整十数的末尾（即0）可以不用按照数位对齐的规则？”在“两位数乘两位数”中，追问“为什么一个乘数的十位数乘另一个乘数的个位数所得的积要对齐十位？”“既然对齐了十位，说明此数应是整十数，那么为什么0可以省略不写？”“0到底可不可以写？”等等。这些都是教师在课堂中可以设置的核心问题。以问题引领学生积极地表达与交流，再辅以教师连续地追问、反问，让学生处于一种良好的“愤”“悱”状态，最后通过教师适当的引导和帮助，学生在表达与交流中就能不断地完善其认知结构，在思考活动中增进对算理的深刻理解。

四、结语

总之，一线教师要重视计算教学中的算理教学，计算教学的一个重点和难点是引导学生达成对算理的正确理解。如果学生没有真正从知识的内在联系中去理解算理，即使教师帮助学生掌握了算法，也只是“知其然而不知其所以然”，这不是深度学习应有的教学策略，会阻碍学生思维的高阶发展。因此，掌握算法只是计算教学中知识和技能学习的基本要求，理解算理才是计算教学中深度学习的基本保证。教师要善于运用各种有效的教学策略，化难为易，为学生搭建各种理解算理的“脚手架”，从教学设计上予以创新，这样将有利于学生从本质上真正深刻理解知识，更加扎实地掌握计算技能，形成核心数学素养。

参考文献：

[1]  徐彦辉. 论数学计算及其教学[J].数学教育学报，2011（02）.

[2]  康淑敏. 基于学科素养培育的深度学习研究[J]. 教育研究，2016（07）.

[3]  皮连生. 学与教的心理学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2009.

[4]  史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]  周成海. 怎样才算理解了所学知识：三位外国学者的意见及启示[J]. 外国中小学教育，2015（07）.

[6]  张平奎. 算理理解：计算教学的重中之重[J]. 教学与管理，2019（02）.

[7]  孔企平. 小学数学教学的理论与方法[M]. 上海：华东师范大学出版社，2002.

[8]  王志南. 聚焦核心问题，引领儿童走向数学深度学习[J]. 教学与管理，2018（09）.

[9]  李璇律，田莉. 建构主义视域下的深度学习[J]. 教学与管理，2019（04）.