广东省东莞市可园中学(523000) 翟燕芳

对近年广东省中考数学试卷的分析中发现, 其中第24题均为平面几何压轴题, 且都以圆作为背景进行问题设置,需要考生具备良好的数学素养,由于题目中条件较多、图形较为复杂,考生往往无从下手、望而生畏.因此,在中考备考过程中,教会学生如何从复杂的图形中挖掘出隐藏的基本图形,化繁为简,逐渐提升学生的推理论证与运算求解能力,显得非常重要,下面笔者从2019年广东省中考数学第24 题谈起,不当之处,敬请批评指正.

1 试题回放

如图1,在∆ABC中,AB=AC,⊙O是∆ABC的外接圆,过点C作∠BCD= ∠ACB交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.

(1)求证:ED=EC;

(2)求证:AF是⊙O的切线;

(3)如图2,若点G是∆ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.

图1

图2

2 试题分析

本题以圆和等腰三角形为背景命制,设计常规,清晰又略带小惊喜,主要考查圆的基本性质、圆周角定理、等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定、切线的判定、三角形的内心的概念、相似三角形的判定及性质.

(1) 要证明ED=EC, 如图3, 首先考虑证明∠EDC= ∠ECD, 由题已知AB=AC得∠ABC= ∠ACB,再由基本图形“角—弧—角”模式(下文3.4 介绍),∠ABC −−∠ADC得∠ABC= ∠EDC,由已知∠BCD= ∠ACB,则∠EDC=∠ECD推出ED=EC.

图3

图4

(2)连接OA,要证AF是⊙O的切线, 如图4, 则只需证明∠OAF=90°, 但条件中并无提供直角的条件, 观察图4 可证OA⊥BC, 再证BC//AF即可.由半径组成的基本图形, 连接OB、OC,则AB=AC,OB=OC利用线段垂直平分线的性质得OA⊥BC.由(1)得∠ABC= ∠ECD,则AB//CF,由已知条件得AB=CF,从而得到四边形ABCF为平行四边形,问题得证.

(3) 由BC · BE= 25 引 导 学 生猜想与BC,BE有关的相似三角形,即考虑∆BAE与∆BCA相似, 分拆出基本图形属A 型, 如图……