湖南省娄底市湖南人文科技学院(417000) 莫元健 龙承星

柯西不等式作为高中数学新课程中的新增内容,其形式简洁,应用广泛,极具解题魅力.近年来,无论是高考试卷还是数学不同学科的题目中都越来越多地出现了与柯西不等式相关的题目.用高等数学中柯西不等式的思想渗透到中学数学中,对解决中学数学中某些不等式的证明或灵活并巧妙地在不同数学学科中应用柯西不等式,将得到出奇制胜、事半功倍的效果.

1 柯西不等式

1.1 柯西不等式的定义

在中学中我们熟知柯西不等式的左边是平方和的乘积,右边是乘积和的平方.但在高等数学中,柯西不等式这一定义表达形式将得到延伸,它不仅形式多变,其应用范围也从中学中二维形式、三维形式演变成高等数学的向量、积分等形式.

柯西不等式不同形式的推广,是求解常见不等式问题的过渡桥梁,柯西不等式在中学数学和高等数学中都有着明确定义,如表1 所示:

1.2 柯西不等式的应用范围

柯西不等式被广泛应用于初等数学、高等代数、微积分、线性代数、概率论等领域,其在不同领域有不同形式[2].柯西不等式有很多种证明方法,不同方法优劣不一,我们在认真了解不同方法证明的条件和特点的同时可推出柯西不等式的各种推广公式.

表1 柯西不等式的形式比较

形式上: 灵活巧妙地运用柯西不等式能解决不等式证明、三角形求解、最值求解、方程求解等问题.更精彩的……