黑龙江省实验中学 王晓红

题目：已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

高考背景：

此题是2014年新课标I理科11题，是一道关于零点求参数范围问题.在近几年的高考中，零点问题频频出现，不仅出现于客观题中，考查考生对零点基础知识的理解与基本技能的掌握，而且渗透于主观题中，多与导数有机融合，考查考生的思辨能力、转化能力.该类型题的特征是：设问多样、隐显分明、注重基础、适度交汇，其解法要因题择法，既要重视定义、定理、构造等代数方法，又要强调数与形的转化思想.事实上，教材概述零点问题，就给零点赋以“形”与“数”的双刃面，这不仅拓展了知识理解的深度，而且提升了问题解答的宽度.

知识准备：

1.函数零点的定义.

一般地，如果函数y＝f（x）在实数a处的值等于零，即f（a）＝0，则a叫作这个函数的零点.

2.几个等价关系.

方程f（x）＝0有实数根？函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.

解题方法：

题目：已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

解法一：一个函数讨论画图象.

函数y＝f（x）的零点，即y＝f（x）函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.

①a＝0时，f（x）＝-3x2+1，易知舍去.

②a＞0时，f（x）＝0则

x （-∞，0）0（0，2 a） 2 a （2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） ↑ ↑a↑

由图象可知函数f（x）存在负数零点，此时不满足题意.

③a＜0时，

x（-∞，2 a）2 a （2，0）0（0，+∞）f（x） - 0 + 0 -f（x） ↑a↑↑

由图可知函数f（x）的极大值为f（0）＝1＞0，所以只需f（x）的极小值，所以a＜-2.

综上所述，a的取值范围是（-∞，-2）.

解法二：转化为方程的根，然后参量变量分离.

函数f（x）的零点，即函数y＝f（x）的图象与轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问……