文王 萍

利用整体思想解方程（组）或不等式（组），是指对问题的整体结构进行分析，发现问题的整体性结构特征，再用“集成”的眼光，考虑将其中某些数或式看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意义的整体处理，使方程（组）或不等式（组）化繁为简，从而快速有效地解决问题。下面围绕整体思想方法列举几道题，供同学们学习时参考。

一、整体代入

【分析】此题我们一般会用代入消元法消去x，但计算较复杂。如果将方程①变形为3x+6y=y+21，即3（x+2y）=y+21，再将方程②整体代入，即可快速解决问题。

解：由①，得3x+6y=y+21，

即3（x+2y）=y+21。③

将②代入③，得3×8=y+21，

解得y=3。

将y=3代入②，得x=2。

二、整体换元

【分析】直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错。如果把方程中的x+3y 和x-y 分别看作一个整体，通过整体换元即可解决问题。

例4解方程：144x2+6x-5=0。

【分析】这是一元二次方程，可用配方法或因式分解法求解，但计算量大且容易出错。可设6x=y，将系数的绝对值化小，从而使题目简单化。通过整体换元将原方程化成4y2+y-5=0，解出y，从而求出x。

三、整体加减

【分析】本题可用加减消元法解出x、y 的值，代入x-y 求值即可解决。但仔细观察，方程①②中x、y 的系数是颠倒的，这样的方程组我们称之为轮换式方程组。可以通过②-①得到2x-2y=-2，从而求得x-y的值。

解：由②-①，得2x-2y=-2，

解得x-y=-1。

【分析】这是一个含参数的方程组问题，用代入消元法或加减消元法解出

将x、y代入不等式组中，得到关于m的不等式组，从而求出不等式组的解集，并得出m的整数值。然而通过再次观察，我们不难发现方程①②可通过整体加减直接得到不等式组，从而快速地解决此题。……