龙明旺 王芳

摘 要：探究式教学容易激起学生的好奇心，并使学生发挥创造力，让学生用自己的思考方式和方法解决问题，切实体会探究带来的成长与进步，有利于学生必备品格和关键能力的培养.本文以一道“零点”习题的教学为例，对探究式教学作了有益尝试，学生达到的高度让人惊叹.

关键词：零点;探究;核心素养

传统的讲授式教学是通过大量的习题讲解，教学生模仿、套用，却不利于培养学生自主发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，不利于学生核心素养的培养，不利于学生的长远发展.笔者经常会借助一些典型的问题情境，开展探究课堂，激发学生的好奇心，引导学生自主发现，深入思考，积极探究，并总结反思，创新命题，学生能达到的高度让人惊叹，现举一例如下.

1.问题提出

学生已经学习了零点的概念和二次函数根的分布的基础知识，于是，笔者提出了一道思考题：关于x的方程在上有唯一实根，求实数k的取值范围.

这道思考题留给学生回家做一做，第二天课堂一起探究.

2.探究过程

老师先是询问学生，经过昨天的思考和讨论，大家有哪些切入点和转化方向.

生1（方向一）：可以用二次函数根的分布.展示过程：

记，则

①解得

②，解得

（课堂上有学生讨论了，有不同的看法）

生2：做的不完整，你怎么知道一定是二次函数？万一怎么办？所以应该分情况讨论.接着，陈述过程：

当时，，解得，不合要求;当时，为二次函数，才是生1所说的情况.

（课堂上还是有部分同学讨论，感觉有不同的理解.）

生3：老师，生2没有考虑边界，因为或也有可能，应该把改成.（课堂有学生说有点道理，但是也有学生感觉不对，提出了异议.）

生4：如图1，这样也满足，但是不符合题目唯一实根的条件.

（课堂上有学生讨论说，生4说的是对的，那怎么处理呢？学生陷入沉思，但是脸上的表情反映内心的迷茫，看来还需要一些点拨）

师：刚才几位同学提出和发现问题，表现得很好.现在这里碰到了难度，

还是讨论不清楚.难在端点怎么处理？那同学们想一想，把和

合在一起讨论，有困难，怎么办？

生5：可以把單独讨论！

师：生5说的非常好.逆向思维，退一步，海阔天空.接下来，如何讨论呢？

生5：可以把或1代入方程，求出另一个根，看是否符合要求.过程如下：

当x=0时，带入方程得，原方程化为，即，解得另一个根，符合要求.

当x=1时，带入方程有，解得，原方程化为，即，解得另一个根，符合要求.

师：生5解得很好.在求另一个根时，除了把k带入原方程，解出另一个根之外，还有没有求另一个根的更简便方法？

生6：（反应很快）可以用韦达定理，过程如下：

①当x=0时，带入方程得，设的另一个根为，由韦达定理有，解得，符合题目要求

②当x=1时，带入方程得即时，设的另一个根为，则由韦达定理可知，解得，符合题目要求.

师：时的情形，为什么不用？

生6：如果用用，这样要么无解或有无数个解，还得通过来确定，这样麻烦多了.

师：生6说的太好了，选择有讲究，细节处理非常到位. （生6喜悦之情溢于言表）本题的答案应该为四大类情况的并集，即.本题如果把闭区间改成是开区间，又如何做？答案还是一样的吗？

（接着学生看前面的讨论过程）

生6：只需在前面的讨论过程稍作修改就可以了.时的情形，把对称轴改成.另外，把当和时的情形，符合题目要求改成不合题目要求就可以了.

画成图形为图2，

故答案应该为

师：生6讲的完全正确，非常好.我们把刚刚几位同学的发言和探究成果做一个总结：

若二次函数在区间上有唯一实根，则分哪些情况讨论？

生7：分三大类讨论：

（1）    （2）

（3）由或求出对应的参数，结合韦达定理求出另一个根，看是否符合要求.最后（1）（2）（3）求并集得到最终的答案.（教师黑板上板书成果）

师：生7归纳的很好.当然，开区间也是类似的处理.如果没有告知是二次函数，还要对二次项系数为0时，单独进行讨论.回到原题，除了用根的分布这种代数方法求解，还有什么方法可解？或什么方向可以切入？

生8：可以用几何方法，画图象来求解.具体为：

由得，问题转化为左边的函数与一次函数的交点问题.

师：切入点很好.那左边函数，，还是呢？如何处理？

生8：分情况讨论，画图象，如图3，

由图可知，，k = 0两种情形，两个图像均没有交点，所以k<0

师：生8数形结合得到k<0，做得很好，思路也很自然.同学们还有没有别的方法，能直接看出k<0？

生9：可从函数值域上考虑.由于，所以，，故.

师：生9从代数上来看问题，非常好.两位同学都讲得很对，接下来请生8继续讲一讲的情形又如何处理？

生8：还是画图象.如图4，记，则由图可知，只需满足且，解得.

图4

师：生8的几何方法很直观，也非常简洁，解得很漂亮.掌声鼓励一下.本题是否还有别的解法或切入方向？

生10：能不能参变分离做？由得，已知，故参变分离得：，但到这一步，右边的图象不会画，我做不下去了.

师：同学们考虑右边函数能不能整式部分离？

生10：分母比分子次数高，没办法分离整式部分.

师：生10一语中的，那能不能化归为分母比分子次数高呢？

生10：（反应很快）可以取倒数.

（有同学灵机一动开始动笔尝试，有同学陷入沉思）

生10：，右边的图象还是不会画？

师：当我们遇到困难时，凭空跨越是不现实的，应该努力思考，看是否见过形式类似的问题？如果与某一熟知的问题类似，我们如何利用以前的方法来解决眼前的问题？

生6：可类比以前求过的函数的值域的方法，换元，令x+1=t，则1≤t≤2，x=t-1，于是，把右边函数的图象画出来，数形结合就很好做了.

生10：生6的做法只是求出常数函数与关于t的函数交点个数问题，并不是与关于x的函数y=的交点个数问题？

生6：x+1=t，这说明x与t是一一对应的关系，一个x对应着一个t，反过来，一个t对应着一个x.所以关于t的方程：有多少个解，原方程就有多少个解.

生10：（豁然开朗）有道理.

生9：老师，取倒数后，为什么不直接换元呢？直接换元，跟前面求函数值域一样，乞不是更简单吗？（学生一下子进入兴奋状态）

生9：令x+1=t，则，x=t-1，.

师：刚才几位同学经过思维的碰撞与讨论，把问题讨论的很透，很了不起.接着请同学们画图，看不能把答案做出来？

（学生动笔很快，也有同学好像有所顿悟，似乎在思考能不能更简单一点）

生9：（几分钟后黑板展示解答）由图5可知，，画图6解得.

师：（沿教室查看一圈）我发现只有一半的同学正确画出了图象，很多同学平移时画错了，也有少数几个同学没有画渐进线.能不能避开平移这个步骤，减少平移带来的画图错误？关键是表达式中的减2如何处理？

生：（反应很快）很多学生齐声说：移到等式的左边去.

师：同学们说的非常好，这样，等式就变成，右边变成了双曲函数.

生8：老师，还可以再简单一点，把等式分母中的2也可以去掉，左右两边同乘法以2，从而等式化为.其实，在这里里，就可以把2去分母处理掉，然后换元，更简单.

师：很好的发现，了不起.（班里同学对生8投来钦佩的目光）请同学们再画图，能不能快速做出来？

生8：（黑板上解答）如图7，由得，解得

图7

（教师环顾一周，发现学生基本上都做出来了）

师：同学们基本上都做对了.总结一下，通过本题，利用参变分离来处理函数零点问题，函数通过代数变形如取倒数、换元等方法化归到什么程度会比较理想？有没有什么标准？

生11：参数和常数放一边，另外一边化归为熟悉简单的函数，就可以了.

师：生11归纳得非常好，简单通俗易懂.所谓熟悉简单的函数就是我们教材上出现的基本函数如幂函数、指数函数、对数函数等，讲过的基本函数如双曲函数等.陌生的函数通过代数变形如取倒数、换元等，化归为简单的函数，实现复杂问题简单化，简单问题通俗化，数学道理至精至简，体现数学的简约之美.

3.创新命题

学生通过探究上述的思考题，掌握了函数零点常用的方法：代数方法、几何方法和数形结合方法.教师提问：能不能根据本题，自己命出新的函数零点试题？哪位同学能够抛砖引玉一下？

生9：系数变一变，由，其中，代入得：

，化简得.故命出新题为：

已知关于x的方程在上有唯一实根，求实数k的取值范围.

生8：能不能把中的t换成别的函数呢？

师：两位同学的思维都非常好，切入点也做得不错.请同学们自己尝试当一次命题人，题目命好后可按生9这样，把命题的过程写在黑板上.

（学生都跃跃欲试，在课堂练习本上开始命题.）

接着黑板上学生成果展示如下：

生12：由，其中，代入化简得.

新题为：已知关于x的方程在上有唯一实根，求实数k的取值范围.

生13：由，其中，代入化简得

.于是，新题呈现为：

已知关于x的方程在上有唯一实根，求实数k的取值范围.

生8：由，其中，代入化简得.故新题为：已知关于x的方程在上有唯一实根，求实数k的取值范围.

生6：将改成，其中，代入化简得

.于是，新题为：已知关于x的方程

在上有唯一實根，求实数k的取值范围.

师：同学们太厉害了，命题有宽度，都成 “命题专家”了.现在站在如此高度回头俯视前面的思考题，应该看得更加透彻.请同学们同桌相互检查命出的新题，然后做对方的新题，并请对方批改指正.

4.总结反思

在整个讨论、探究过程中，学生注意力专注，配合积极，探究的兴趣也比较浓厚，脸上洋溢着对知识和探究的渴望，也有获得的喜悦与自豪.

整个探究过程按照学生先行、交流呈现、教师断后的步骤在进行，教师只是引导与协助，把课堂还给学生，让学生自主发现与探究，找到解决问题的方向与步骤，最后，教师协助学生进行归纳总结与评价反思.

思考题的探究方法有三种，方法一常规，最容易想到，能培养学生严密的逻辑推理能力，但学生容易错解或漏解，通过探究，学生能深刻的感受思维的严谨性，有助于好的思维习惯和品质的培养。方法二利用几何直观，借助形象思维获得出奇制胜的精巧解法，感受函数的几何之美，利于激发学生的创造性思维. 华罗庚教授说得好，“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”华老这些话对我们的数学解题具有极深刻的启示.数形结合解题常使我们的思维豁然开朗，视野格外开阔.方法三正是数形相辅相成的产物.但是，方法三中最难的是代数变形与化归. 美籍匈牙利著名数学家波利亚说：“不断地变换你的问题.”他认为，解题过程主要是问题的变换过程，“我们必须一再地变换她，重新叙述她，变换她，直到最后成功的找到某些有用的东西为止.” 化归的实质是把所需要解决的问题转化为已经解决的问题，或容易解决的问题.同原问题相比，化归后的新问题必须是已经解决或较为熟悉、简单的问题，它是数学最重要、最基本的思想之一. 化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的答案.方法三中，学生归纳总结得到：通过取倒数、换元和移项的代数变形，最终化归为简单熟悉的双曲函数，而且化归的目标就是简单熟悉的函数，大道至简，十分难得.通过方法三，可让学生理解题目解答的动机和步骤，并需要学生尝试去主动探索这些动机和步骤，从而理解和品味数学.最后命制新题，可进一步激发学生的好奇心，高屋建瓴的看待函数零点问题，也有利于学生创造性思维的培养.

课堂教学中，数学题目只是学习的载体，题目可能本身很平常，但是若它能激起学生的好奇心，并使学生发挥创造力，而且让学生用自己的思考方式和方法解决了问题，那么学生就能切实体会到一些进步和成长，而且享受发现的喜悦又会促进学生探究和思考的热情与兴趣，这样的经历过程有利于培养学生对智力思考的爱好和习惯，对学生的思想和品格也会留下深刻的影响，终身受益，从而提升学生的数学核心素养，实现数学的育人价值.

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