赵祝光，丁 亮

(东北林业大学)

0 引言

该文考虑求解(1)式的非线性算子方程

A(x)=y,

(1)

其中x是稀疏的，A:l2→Y是l2和Y之间的非线性映射，Y为Banach空间，其范数为‖·‖Y.在实际问题中，由于误差的存在，精确数据y不能预先得到，所观测的数据yδ往往带有扰动或噪声，y与yδ满足‖y-yδ‖≤δ，其中δ为噪声水平.通常求解(1)的方法有lp(p≥1)稀疏正则化[1-4].然而lp(p≥1)正则化有时无法提供最稀疏的解，因此提出非凸lp(0≤p<1)稀疏正则化作为其替代方法.关于l0稀疏正则化，可参考文献[5-8].在最近5年里，αl1-βl2正则化在稀疏恢复领域已经引起了很大关注[9-13].作为lp(0≤p<1)的一种替代，函数

α‖·‖l1-β‖·‖l2(α≥β≥0)

具有较好的性质，它是l0-范数一种较理想的近似.从计算的角度来看，该函数具有比l0更简单的结构.在文献[9]中，作者研究了形式为

(2)

的正则化的适定性和收敛速度，其中A是有界线性算子，

Rα,β(x)=α‖x‖l1-β‖x‖l2,α≥β≥0,q≥1.

其中，

Rη(x)=‖x‖l1-η‖x‖l2,α>0,1≥η≥0.

特别地，当q=2，文献[9]提出了求解问题(2)的ST-(αl1-βl2)算法：

(3)

其中，sk为步长，λ>0.与经典的迭代软阈值算法类似，ST-(αl1-βl2)算法结构简单，容易实现.然而，ST-(αl1-βl2)算法可以任意慢，因此构建ST-(αl1-βl2)算法的加速方法是有意义的.文献[14]通过拓展投影梯度算法求解问题(2)，提出了算法(3)的两个加速替代方法，分别为基于广义条件梯度方法的投影梯度算法和基于替代函数的投影梯度算法.而该文的主要目的是将前一种投影梯度算法进行推广.用基于广义条件梯度方法的投影梯度算法求解非线性不适定反问题的非凸αl1-βl2稀疏正则化.该文选择投影梯度方法有两个原因，首先，它的表达式简单并且容易实现，另一个原因是它收敛得相当快，因此足以解决大规模不适定问题.

该文结构为：第一节为预备知识.在第二节中给出求解αl1-βl2稀疏正则化的基于广义条件梯度方法的投影梯度……