李文秀，董大伟，徐昉辉，闫 兵，黄 燕

（西南交通大学 机械工程学院，成都610031）

液压减振器是一种有效耗能减振的被动型装置，具有阻尼产生方式简单、可靠性高等特点，在建筑、铁路、机械车辆等众多领域得到了广泛的应用[1]。作为宽频隔振系统的工作元件，液压减振器的作用表现为两方面，一是抑制被隔振物体的振动幅度，二是降低传递到基础的振动，上述内容对隔振元件的要求是相反的：在低频域，为了抑制被隔振物体的振动位移，隔振元件需要具有高刚度、大阻尼的特性；而在高频域，为了降低基础的传递力，隔振元件需表现为低刚度、小阻尼特性。但是液压减振器在高频振动时，由于流体的惯性等因素会出现刚度动态硬化的现象。因此为了使隔振装置能够更好地适应衰减宽频振动的需要，有必要深入研究液压减振器的高频动态特性。

现有的关于减振器的建模方法中：集中参数法不涉及具体阻尼和刚度[2-3]，机液一体化建模方法无法得出数学模型[4-5]，基于流体力学理论的建模方法不考虑流体的可压缩性[6]，而基于液压流体力学理论的建模方法考虑了流体体积模量的影响适用于中高频激励[7-8]。液压减振器按结构可分为单出杆型和双出杆型，而双出杆型减振器由于不需要体积补偿结构简单，且因活塞两端有支撑结构稳定性相对较好，因而适用性更强[9]。目前采用液压流体力学理论对减振器进行建模的文献，考虑了流体的体积模量，认为流体可以压缩且压缩时会产生刚度[10]，但多是基于流动模式减振器进行研究，所建立的模型并不适用于双出杆型液压减振器，同时对流体的动态刚度和阻尼随频率变化的研究较少，而实际上由于激振频率的不同，活塞的运动速度也会不同，因此通过阻尼通道的体积流量也会发生变化导致流体的动态阻尼和刚度发生变化[11-13]。

因此，本文将考虑流体惯性和流动的局部损失等因素，建立能够准确反映高频动态特性的数学解析模型，并通过台架试验数据验证模型预测高频激励下减振器输出阻尼力的准确度，最后探究了不同激振频率对液压减振器阻尼力的影响。

1 液压减振器的工作模型

双出杆型液压减振器不存在复杂的阀结构，其节流作用仅来自于上下液室的连接通道口，典型的双出杆型液压减振器结构如图1所示。活塞将减振器内部空间分为上下两个腔体，活塞受到正弦激励时做往复运动，从而挤压阻尼液使其通过阻尼通道在两个腔室内来回流动，达到有效耗能减振的目的[14]。

图1 液压减振器

2 液压减振器的动力学建模

阻尼液的牛顿流体本构方程如下：

式中：η0是阻尼液的黏度，γ˙是阻尼液的剪切应变率，u(y)是阻尼液的流动速度，τ 是阻尼液的剪切应力。

在减振器的阻尼通道内，阻尼液的流速分布如图2所示。

图2 阻尼通道内阻尼液的流速分布图

其中x 是轴向坐标，y 是径向坐标，两板之间的阻尼通道间隙为h，R1是活塞外径，R2是缸筒内径。分析其微元受力，由牛顿运动定律得到阻尼液流动微分方程，即流体力学Navier-Stokes方程：

式中：ρ是阻尼液的密度，u(y)是阻尼液在通道内的流速分布，t是时间，p是阻尼通道内的压力。在工程计算中，假定阻尼液为准静态流动且沿流道长度方向（x轴方向）阻尼通道内压力梯度是一定的，则压力梯度表达式可简化为

式中：Δp是阻尼通道两端压强差，Lg是通道长度。

由上述假设可将式（2）简化为

利用分离变量法解方程得：

式中：C为待定积分常数。

将阻尼液本构方程式（1）代入控制方程式（5）得：

解微分方程得：

式中：C1、C2为待定积分常数。

代入边界条件u(R1)=-v0，u(R2)=0，v0是活塞杆的速度，可得到C1、C2的值，将其代入式（7）得阻尼通道内速度分布表达式：

由连续性定理，阻尼液流进阻尼通道的体积等于活塞运动所占用的体积，即体积流量表示为

式中：Ap为活塞有效面积（即活塞截面积减去活塞杆的面积），v0为活塞杆的相对速度，Q为流经阻尼通道的体积流量。

阻尼通道的阻尼液体积流量又可以由体积积分表达如下：

将式（8）代入式（10）得到阻尼通道的流动损失表达式：

以液压减振器中的阻尼元件作为研究对象，基于液压动力学理论，考虑流体体积模量，推导高频激励下减振器中的阻尼元件动力学模型。图3为阻尼活塞受力分析图。

图3 阻尼活塞受力分析

图3中FRh为阻尼通道内黏性损失所产生的摩阻，FQ为阻尼液在阻尼通道内流动产生的惯性力，Fp1,Fp2分别是两个腔室的压力。

阻尼元件可以用直筒模型表述，工作过程中，部分流体从一个腔室流动到另一个腔室时，由于体积模量的存在，还有一部分流体被压缩。流体在两个腔室的运动规律可以用下面的微分方程来描述。

式中：V1、V2分别为两个腔室的容积，P1、P2对应两个腔室内部压强，β为阻尼液的体积模量，反映了流体的可压缩性。

对于液压减振器的高频激振，其振幅量级一般为毫米级，与阻尼器的尺寸相比，这种振动造成的腔室容积变化可以忽略不计，因而假设阻尼器活塞往复运动时两个腔室的容积相等，即：

对式（14）进行一次微分得：

考虑黏性损失可以得到下面的式子：

式中：Ag为阻尼通道截面积，Δp·Ag为阻尼通道内黏性损失所产生的摩阻（即FRh）ρLg˙为阻尼液在阻尼通道内流动产生的惯性力（即FQ）。把式（11）、式（13）、式（14）代入式（16）中可得：

式中：

对式(17)进行拉普拉斯变换，化简得到考虑流体体积模量及阻尼通道内流体黏性损失时的压差相对于激励速度的传递函数表达式：

外界激励为正弦速度激励：

传递函数中极点的形式不同，则时域响应的形式也会对应不同，因而需要对极点的形式进行讨论。令式（18）中的分母等于零，然后取判别式：

当判别式的正负不同时，压差在时域的形式也会有所不同。可以看出A2,A4,A5与阻尼液密度，阻尼通道长度，流体体积模量，腔体的容积等因素有关，这些参数的取值影响了极点的分布。代入液压减振器各参数值可知判别式为正，此时有两个不同的实根，设为s1、s2，则传递函数表示为

对式（21）进行Laplace逆变换，得到压差的时域解析表达式：

式中：

液压减振器的阻尼力与活塞上下腔压力差的关系为

利用MATLAB编写程序，在给定阻尼器各结构参数和活塞运动速度等条件下可以得出阻尼器的阻尼力。

3 液压减振器台架试验

为了验证所提出的数学模型，设计制作了液压减振器，如图4所示。同时搭建了试验台架，对设计的液压减振器进行了示功特性测试。

图4 液压减振器实物图

在图5所示的试验台架上给活塞施加正弦激励进行测试，激振频率范围为0～100 Hz，试验得到液压减振器的示功特性曲线。

图5 试验台架实物图

液压减振器在相同的位移幅值下，改变激振频率，得到了如图6所示的阻尼力随活塞速度变化的曲线，由图可知数学模型和试验数据较为一致，活塞的速度越大，液压减振器的阻尼力也随之增大且增速变大。这是由于激振频率的增加会导致流体惯性力相对阻尼力的影响变大，造成液压减振器高频不易控制状态，所以需要引入考虑流体惯性等因素的数学模型来修正由于高频激振造成的阻尼力变化量。

图6 阻尼力随活塞速度的变化关系

图7 部分激振频率下的示功特性曲线

由图7可以看出：随着激振频率的增加，阻尼力的幅值变大且示功图的面积逐渐增大，这表明了液压减振器的阻尼的增大和在一个循环中耗散的功的增大。同时，在不同激振频率下理论示功曲线和试验示功曲线基本吻合，说明理论值与试验值基本一致，误差较小。理论和试验值间出现的差异可能是由于在理论分析中，将阻尼通道内的环境简化为了理想环境并忽略了流体中有气泡等因素造成的，这也说明本文所采用的分析方法是合理的。

图8为液压减振器在不同激振频率下的示功特性曲线对比图，从图中可以看出，在激振位移幅值一定的情况下，随着激振频率的增加，示功图面积不断增大，阻尼耗能作用不断增强；同时，激振频率的增加还导致了示功图的偏转，这是由于频率增加时，上下腔室内流体的压缩作用占主导作用，通过阻尼间隙流动的流体变少，影响阻尼耗能效果。

图8 不同激振频率下的示功特性曲线对比

4 结语

利用牛顿流体本构模型，基于流体力学N-S 方程，得到了阻尼通道处的流速分布，考虑流体惯性和流动的局部损失等因素，建立了能够准确反映高频动态特性的数学解析模型。在此基础上进行了相关的试验研究，结果表明液压减振器的理论值和试验值在不同激振频率下都能够较好地吻合，因此本文所提出的数学解析模型是合理的，可以用于预测液压减振器在不同激振频率下所产生的阻尼力。