孙 洁，邵燕灵

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

本文考虑的图均为简单图.设G为一个具有顶点集V(G)={v1,v2,…,vn}和边集E(G)的无向图，如果图M是对无向图G的某些边加上方向后而获得的，则称M为混合图，称无向图G为M的基本图，记为Mu.混合图M的顶点集V(M)与其基本图的顶点集V(Mu)相同，边集E(M)是无向边的集合E0与有向边的集合E1的并集.

设M是顶点集为V(M)={v1,v2,…,vn}和边集为E(M)的混合图，用vkvl(或vk↔vl)表示M中连接两个顶点vk和vl的无向边，用(vk,vl)(或vk→vl)表示从vk到vl的有向边(或弧).用dk=d(vk)=dG(vk)表示无向图G中顶点vk的度.对于混合图M，用dk=d(vk)=dMu(vk)表示其基础图Mu中顶点vk的度.

(1)

图G的ABC指数定义为[6]

(2)

其相关的研究见文献[7-9].

如果在混合图M的每一条边和弧上加上ABC权，就可以得到一个新的加权埃尔米特邻接矩阵.下面给出具体定义.设M是顶点集为V(M)={v1,v2,…,vn}的一个混合图，定义M的埃尔米特-ABC矩阵为n阶矩阵ABCH(M)=((wh)kl)，其中

(3)

本文定义了混合图的埃尔米特-ABC矩阵ABCH(M)，给出了混合图的埃尔米特-ABC能量的一些界，并刻画了有向图D1和D2的埃尔米特-ABC能量与混合图D1∨D2的埃尔米特-ABC能量之间的关系，其中D1∨D2是在有向图D1的每个顶点与有向图D2的所有顶点之间各添加一条无向边而得到的混合图.

1 预备知识

引理1[8]设G为无孤立点的n≥2阶无向图，Δ(G)与δ(G)分别为G的最大度与最小度，则

(4)

两边等号成立当且仅当G为正则图.

引理2 设M为n阶混合图，Mn为M的基本图，η1≥η2≥…≥ηn为ABCH(M)的特征值，则

2(n-2R-1(Mu)),

(5)

证明因为

(6)

故结论成立.证毕.

2 混合图的埃尔米特-ABC能量的界

证明设η1≥η2≥…≥ηn为ABCH(M)的特征值，则存在一个n阶酉矩阵U，使得

U*ABCH(M)U=U*ABCH(M)*U=

diag{η1,η2,…,ηn}.

(7)

定理2 设M为n≥3阶混合图，Mu为M的基本图，η1≥η2≥…≥ηn为ABCH(M)的特征……