班 玥, 李欣和, 陈 玺

(1.上海大学材料科学与工程学院, 上海 200444; 2.上海大学理学院, 上海 200444)

量子计算、量子通信和量子信息处理已经成为了后摩尔时代的新兴技术, 是目前人们广泛关注并努力探索的方向, 也是凝聚态物理、量子领域的研究重点.而基于半导体量子点的量子计算得益于先进的现代半导体微电子制造工艺, 被认为是有可能实现量子计算的平台之一, 继而成为了世界各个国家战略竞争的焦点.近期,《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二〇三五年远景目标的建议》中指出: 要瞄准量子信息等前沿领域, 实施一批具有前瞻性、战略性的国家重大科技项目.

众所周知, 量子计算机的计算能力是随着量子比特数目的增加呈指数增加.因此, 对量子态进行高保真度制备、操控或布居数转移是量子技术迈向应用的重要步骤.退相干和长程耦合这两大困难, 一直是基于固态电子学量子计算发展的难点: 退相干导致系统失去相干性; 若以外场驱动系统, 则系统与环境产生耦合将不可避免.近年来, 我们与国际合作者共同提出的量子绝热捷径(shortcuts to adiabaticity, STA)技术能够在较短时间内产生类似绝热过程, 有效减少环境退相干带来的影响, 并已经发展成量子态操控的一种有效方法.本工作系统介绍了基于量子绝热捷径技术, 以及在不同量子点体系中对于电子量子态快速而稳定的控制方案, 并分析了环境退相干等系统因素对量子态操控的影响.

1 半导体量子点中的量子比特

半导体量子点作为一种人工固态量子系统, 将单个或多个电子束缚在3 维微小空间上.图1 为Tokura 研究小组[1]制备的横向量子点扫描电子显微镜(scanning electron microscope,SEM)图.量子点的尺度通常是纳米量级, 与自由电子相比, 量子点中被束缚电子受到环境的干扰程度大幅降低, 具有良好的稳定性.受限电子的波函数在半导体量子点中具有局域性, 容易被操控.

图1 横向量子点的SEM 图Fig.1 SEM image of a lateral quantum dot

量子比特是量子信息的基本计量单位.相较于经典系统中的二进制0, 1 表示, 量子比特根据量子力学态叠加原理, 可以表示为|0〉和|1〉状态的叠加.二能级体系中的任意态可表示为

式中:α和β是复数, 且满足归一化条件|α|2+|β|2=1.为了更直观地表示, 将一个量子比特状态用布洛赫球面上的点标记(见图2).在一个二能级系统中,|0〉2和|1〉2态, 即2 个正交基矢态分别位于布洛赫球的两极.球的半径为单位长度1, 量子比特的状态(系统的波函数)可以表示为

图2 量子比特状态在布洛赫球面上的表示Fig.2 Representation of a qubit on the Bloch’s sphere

式中: 布洛赫球上的极角θ、方位角φ均为实数.在半导体量子点系统中, 量子比特一般有自旋比特[2-4]和电荷比特[5-6].

1.1 电子自旋比特的操控

自旋比特利用自旋这一天然的二能级系统进行编码.早在1998 年, Loss 等[2]发现囚禁在半导体量子点中的单电子自旋可以用来制备成自旋比特.量子点自旋比特受外界环境噪声影响较小并具有相对于操控时间较长的退相干时间[7].自此以后20 多年来, 以自旋为载体的量子计算在理论[8-9]和实验[10-11]方面均得到了长足的发展, 是实现量子计算机[12]的重要平台.

人们使用不同方法控制自旋比特, 常用的方法有电子自旋共振技术[13-15]、电偶极矩自旋共振[16]、几何相位控制[17]等.利用电子自旋共振技术, 单个电子的自旋与磁场耦合很弱, 自旋翻转慢(约100 ns)[18], 使得自旋比特的操控也较慢.必须通过足够强的自旋与磁场的相互作用, 才能实现单个电子的自旋共振, 而在实验中产生足够强的振荡磁场往往很困难.在纳米尺度下, 通过外加电极产生周期性电场, 比磁场更容易更精准.而由此产生的自旋共振频率要比磁场塞曼频率小很多, 使得单自旋的反转时间更短, 而不易受退相干的影响.在一些半导体材料中, 晶格反演对称破缺造成自旋轨道耦合作用, 也可产生电偶极矩自旋共振[19-21].电子自旋与半导体衬底材料中的核自旋之间具有超精细相互作用[22-24], 也能诱导出电偶极矩自旋共振[25-26].此外, 利用相位调控实现态的控制[27], 可以获得更稳定的方案, 但是所需操控时间较长.在自旋轨道耦合作用下, 外加电场可以有效地控制几何相位, 这样就可以在不使用高频磁场的情况下进行量子相干自旋操作[28].

2007 年Pioro-Ladri`ere 等[1]制备了一种横向量子点, 并设计出一个二能级系统, 实现了电子态操控和读出.2009 年, Nowack 等[18]在局部添加电极, 产生了周期时变电场, 通过自旋轨道耦合作用产生电偶极矩自旋共振, 从而操控自旋.2014 年, Vandersypen 研究小组[29]通过在量子点附近引入小磁块而成功制得了退相干时间约为840 ns 的自旋比特.2016 年, Tarucha 研究小组[30]在硅锗量子点上制备了相干时间1.8 µs 的自旋比特.斯坦福大学的Press 等[31]提出了一种采用超快激光脉冲对单量子点中单个电子自旋的控制方法, 将四能级系统简化成2 个自旋态的耦合, 通过光泵浦在3.4 ns 内完成单电子自旋的测量, 精确度为92%, 退相干时间与门时间的比值超过了105.

1.2 电子电荷比特的操控

电荷比特以电荷为载体, 并以单个电子在量子点系统中的不同位置状态进行编码.电荷比特的传输时间由相邻量子点间的隧穿系数决定, 其翻转频率可以达到兆赫兹量级.由于与环境噪声耦合强, 故电荷比特相干时间一般较短, 为纳秒量级[32-33].在如此短的相干时间内完成一系列的高保真度门操控是电荷比特控制的重大挑战.中国科学技术大学的郭国平等[6]在2013 年首先利用LZS(Landau-Zener-St¨uckelberg)干涉实现了对电荷比特的全电操控, 又分别于2015 年和2016 年实现了双电荷比特的CNOT 逻辑门操作以及基于三电荷比特的控制非(controlled-NOT, CNOT)逻辑门操作[34-35].虽然电荷比特的操控速度通常会比自旋比特高3 个数量级, 但是由于受到电荷噪声的影响, 导致其相干时间较短, 难以提高量子操控的保真度.因此寻找快操控的编码方式, 在有限时间内尽可能多地完成量子操控便成为学术界的研究方向.

1.3 多量子点体系中的量子态控制

值得一提的是, 在多量子点体系中, 电子自旋态和电荷态的传输和控制也得到了深入研究, 为大规模量子信息处理技术的发展提供了基础.例如, 在三量子点中, 理论实验中都研究了自旋在两端量子点间的传输[36-37]和光子-辅助下电子传输[38-41].一种类似于量子光学受激拉曼绝热过程最先用于三量子点中电荷态的传输, 并被推广至多量子点阵列中[42-43].电子在量子点阵列中沿着系统的暗态(本征能量为0 的本征态)传输, 这种方法被称为绝热通道耦合传输, 也有研究将能级差(解谐)作为控制参数绝热调控自旋态[44].最近多项实验工作提出了远距离传输量子态的方案[45-49].实验[50-51]在多量子点阵列中成功耦合装载并传输了多电子的自旋纠缠态, 通过调整能级差将保持纠缠态的多电子中的单个电子远距离绝热传输.实验中也已经可以做到硅多量子点中一次装载传输双电子或三电子纠缠态[52].

2 量子绝热捷径技术

自1984 年发现Berry 相位以来, 量子绝热定理成为了量子理论中最重要的结论之一[53].近年来, 绝热过程在量子态制备[54]、量子操控[55]等领域得到广泛应用.量子光学中快速绝热通道, 如Landau-Zener 方案, 就被广泛应用于量子点系统[56], 可用于制备纠缠态和量子逻辑门.然而, 现实中量子绝热过程是一个慢过程, 随着量子信息传输和处理规模的提高, 量子绝热计算或者量子操控的结果会因环境退相干等因素而受到影响.为此, 人们不断寻找新的调控方法来缩短控制时间, 尽可能地减小系统误差和环境噪声带来的影响.近年来, 我们提出了量子绝热捷径技术[57-59], 用来加速不同物理系统中量子绝热的“慢”过程, 减小系统能耗或环境退相干的影响.量子绝热捷径技术能大幅度地减少系统的演化时间, 在有限的时间内产生类似量子绝热过程的结果.目前, 量子绝热捷径技术已经成功地应用于各种物理系统中, 如光学囚禁势中的原子冷却[60]、机械谐振子冷却[61-62]、光晶格中波包传播[63-64]、RCL 电路[65]、多体相互作用自旋体系下的叠加态或纠缠态制备[66]等.在自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein condensate)中, 通过该技术得到了冷原子的快速优化转移路径[67], 并且基于变分法发展了快速孤子压缩的量子绝热捷径方法[68].量子绝热捷径技术为量子态的快速、稳定的操控提供了较有效的方法, 促进了原子、分子、光物理以及量子信息科学与技术等领域的科学研究.同时, 量子绝热捷径技术不断完善和发展, 成为量子控制的一个重要方法.量子绝热捷径技术主要有基于Lewis-Riesenfeld 不变量的反控制法[58]、量子无摩擦动力学[69]和多重薛定谔绘景(Schr¨odinger picture)[59]等.

2.1 基于Lewis-Riesenfeld 不变量的反控制法

基于Lewis-Riesenfeld 不变量的反控制方法在给定的时间下, 确定波函数在初始和最终时刻的状态, 设计中间路径, 从而反向设计哈密顿量.对于一个含时的哈密顿量H(t), 薛定谔方程为

哈密顿量的不变量I(t)满足不变量的条件

式(3)的解(波函数)可以表示为I(t)瞬时本征态|χn(t)〉的叠加:

式中: 几率振幅cn是常数,n=1,2,···; 波函数|χn(t)〉是I(t)的正交本征矢, 满足

λn是常数; 相位

被称为Lewis-Riesenfeld 相位.利用不变量的本征态和本征值, 定义不变量为

由Lewis-Riesenfeld 相位和不变量的本征态表示含时的幺正算符U, 有

则哈密顿量演化的幺正算符满足

由式(10)可以解出哈密顿量H(t),即

对于一个二能级系统(如单电子自旋系统), 以径向角θ和方位角ϕ参数化布洛赫球, 可以构造不变量I(t)的2 个正交本征态:

进而构造I(t).式(12)选取单本征态模式或是双本征态模式将会得到不同的路径解.

根据边界条件设定t=0 和t=tf时刻的波函数及其导数, 可以确定θ和ϕ在边界时刻的值.使用不同连接函数连接这2 个角度在边界上的值, 可以得到θ(t)和ϕ(t)的函数.将波函数的表示代入式(3)或式(4)中, 可以得到θ和ϕ对于时间的一阶微分方程, 再由这2 个微分方程可以反推出需要的外加场.

反控制法对于具有共振条件等特定对称性的三能级和多能级系统同样适用.利用旋波近似, 共振条件下的三能级系统的哈密顿量[70]表示为

式中: 拉比频率Ω23(t),Ω12(t)表示泵浦场和斯托克场的相互作用.

为了构造不变量, 基于二维幺正矩阵SU(2)的对称性, 哈密顿量可表示为

式中:

并满足对易关系

用角度χ和η参数化波函数, 则有

对应的动力学不变量[70]满足式(4), 可表示为

将波函数|Ψ(t)〉代入式(3), 可以得到

一旦根据边界条件获取恰当的χ和η, 由式(19)和(20)就可以反推导出脉冲

2.2 量子无摩擦动力学

量子无摩擦动力学从参考哈密顿量出发, 有

其绝热近似解为

式中:

时间演化算符可以表示为

哈密顿量可以写为

总哈密顿量可以分为2 个部分:

式中:

H1(t)称为反绝热跃迁项[71], 它的存在使系统严格地沿着H0(t)的瞬时本征态演化.对于共振条件下的三能级系统(如电荷在三量子点中传输), 系统的哈密顿量如式(13)所示, 其瞬时本征态可表示为

对应的本征值E=0,E±=±ħΩ/2, 其中

2.3 多重薛定谔绘景

在实际应用中,H1(t)部分可能难以实现.例如, 电子在三量子点中传输反绝热跃迁项位于非相邻量子点之间[71], 双量子点中需要添加不同方向的外场而引入新的噪声[72].利用幺正变换将哈密顿量转换绘景, 寻找更容易实现H1(t)的绘景, 也是绝热捷径技术的一个手段.某个表象中的薛定谔方程可表示为式(3), 在另一个绘景中, 则表示为

2 个绘景中的波函数由幺正变换相联系, 二者的关系可表示为

而哈密顿量的关系则可表示为

2 个绘景中的哈密顿量在初始时刻和末时刻保持一致, 但中间时刻不同, 需要满足U(0) =U(tf) = 1.新表象中的哈密顿量H′能够在物理上更容易实现, 或者是外加场的数量更少, 这样就找到了另一种捷径技术.例如, 电荷在能级相等的三量子点中传输, 由于反绝热跃迁项是量子点1 和3 之间非相邻项间的耦合, 故在实验上实现有困难, 研究者可通过哈密顿量的旋转,找到电荷从量子点1 至3 非绝热传输的方案:

然而, 传输过程中量子点2 内会有几率激发.

2.4 缀饰态方法

缀饰态方法[73]在绝热表象下寻找额外控制项, 消除参考哈密顿量的非绝热部分, 并在缀饰态基矢下得到等效的控制场.绝热表象中哈密顿量为

式中:H0(t)为三能级共振条件下的哈密顿量; 幺正变化算符为

式中:

是自旋为1 的生成元矩阵, 为了消除非绝热跃迁, 绝热表象中的哈密顿量为

式中: 幺正变换矩阵为

缀饰态方法的优势是寻找到控制外场在加速的同时, 能够抑制中间态的激发[74].

3 量子绝热捷径技术在量子态操控的应用

从量子点中态控制方案现况来看, 加速态控制不但能加速信息传输的速度, 而且还能减小环境退相干的影响, 提高调控的保真度.量子绝热捷径技术能够有效缩短操控时间, 并得到对于参数误差、环境噪声而言非常高的鲁棒性.Ban 等[75]使用基于不变量的反控制法, 通过外加电场脉冲并利用其与自旋轨道耦合相互作用, 控制单量子点中单电子的自旋反转, 这是第一次将绝热捷径技术运用到量子点系统中控制量子态; 随后, 在双量子点中使用量子无摩擦动力学得到了单重态-三重态比特[72], 提出了快速产生纠缠态的方法, 并用反控制法得到了快速而稳定的比特门[76].此外, 电子在三量子点阵列中的非绝热传输方案可以由绝热捷径技术加速[71,77], 该非绝热传输方案还可以推广至(2n+1)个量子点体系, 从而将绝热捷径技术推广至多能级体系中.在三量子点三角阵列中, 还可以利用量子无摩擦动力学、缀饰态方法、共振等方法快速产生和传输电荷态[74].Masuda 等[78]运用反控制法, 通过选择自旋方向在量子点阵列中传输电子.运用反控制法还能给出在任意长量子点阵列中双电子自旋纠缠态的非绝热传输方案, 由于控制时间远小于环境退相干时间, 故保真度较绝热方案大大提高.

3.1 基于不变量的反控制法操控单量子点中的电子自旋反转

考虑2 维电子气(xy平面)中形成的门电压控制的量子点(见图1).电子在垂直于平面方向(z方向)上因材料不同、势函数不同而运动受限.在量子点中, 外加弱磁场B0平行于z方向,引起轨道能级劈裂, 即塞曼效应.考虑Rashba 自旋轨道耦合和Dresselhaus 自旋轨道耦合, 相应的速度算符也受到自旋轨道耦合强度影响.电场与自旋轨道耦合相互作用可以表示为

式中:A(t)是电场的矢势, 表明通过调控外加电场强度可以控制自旋方向, 也可以理解为自旋轨道耦合诱导的电偶极矩自旋共振.文献[75]将研究模型简化为轨道态为基态, 自旋态向上和向下2 个态之间的跃迁, 使用L¨owdin partition 方法[79]计入其他轨道态的影响, 由此可以写出形式为2×2 矩阵的哈密顿量Heff.文献[53]选取单本征态模式|Ψ(t)〉= eiα+(t)|χ+〉, 即波函数的演化路径与不变量的一个本征态演化的路径一致(相位可以不同).

确定自旋反转过程所需要的操控时间tf, 根据文献[75]所设定的边界条件, 即在t= 0 和t=tf的波函数, 可以确定θ和φ在边界时刻的值.文献中使用多项式连接这2 个角度在边界上的值, 得到θ(t)和φ(t)的函数.将此波函数的表示代入薛定谔方程中, 可以得到θ和φ对于时间的一阶微分方程, 并与电场的矢势Ax和Ay有关, 由此可以反推出矢势Ax和Ay.文献[75]给出了tf为纳秒量级情况下, 由基于不变量反控制法设计而得到的电场脉冲, 并分析了初始参数φ(0)具有一定偏差下方案的稳定性, 讨论了开放系统下外界环境对于自旋翻转的影响.由Lindblad 型主方程推导出保真率与不同tf的关系, 并发现tf越小保真度越高, 这是由于在环境退相干作用下, 反转过程越短受到影响越小.

3.2 双量子点中的单重态-三重态比特

文献[76]研究了双量子点中基于Lewis-Riesenfeld 不变量的反控制方法, 设计时变电场,提出了双量子点中双电子自旋单态-三重态空间的快速跃迁方案.该文献应用了双本征态模式驱动, 直接运用Lewis-Riesenfeld 相位, 设计了布洛赫球上任意2 点之间的自旋操控, 并对电场强度进行了最优化设计.考虑的情况为双电子受限于双量子点中, 外加时变电场也在xy平面内.

双量子点中电子波函数的空间宽度小于每个点中势的极小值位置之间的距离.由于电子库仑相互作用, 每个电子受限于量子点中, 而不发生隧穿.哈密顿量动能、势能和相互作用可以用自旋算符表示:H0=J(sL·sR), 其中J是海森堡相互作用项,sL,sR分别是左右2 个点内电子的总自旋.在(s,sz)表象下,s和sz分别代表总自旋和自旋z分量, 最低的4 个能级分别是单重态|0,0〉和三重态|1,1〉、|1,0〉和|1,−1〉.这里依然考虑Rashba 和Dresselhaus 自旋轨道耦合.电场与电子自旋相互作用项可以写成

式中:A(xj,yj)是时变电场的矢势.对于GaAs 半导体,g <0, 当|0,0〉与|1,1〉的能级差远小于塞曼能级差时, 可以将模型简化为这个二能级系统, 而忽略其他能级的影响.这个等效的哈密顿量以|0,0〉≡|1〉=(1,0)T和|1,1〉≡|2〉=(0,1)T为基矢.通过布洛赫球上的角度θa和φa,找到哈密顿量的不变量.根据Lewis-Riesenfeld 理论, 可以反解出电场的矢势AxL,AxR.与单电子自旋反转[75]不同, 文献[55]给出系统的波函数是不变量的2 个本征态模式的叠加:

因此, 波函数在t= 0 和t=tf时刻, 波函数不再是哈密顿量的本征态, 即[H(0),I(0)]̸= 0,[H(tf),I(tf)]̸= 0.双本征态模式的采用给出了更多的自由度.自旋态在以|0,0〉,|1,1〉分别为南北极的布洛赫球上的任意2 点间演化都可以找出演化路径和对应的外场方案.通过调控Lewis-Riesenfeld 相位, 有效地降低了外加电场的强度.文献[76]给出了波函数演化和不变量的2 个本征态演化对应路径的示意图(见图3), 还提出了构造Hadamard 门的绝热捷径方案.

图3 演化路径示意图[76]Fig.3 Schematic diagram of the trajectory of state evolution[76]

文献[72]使用量子无摩擦技术, 提出了同样考虑自旋轨道耦合的双量子点中产生自旋纠缠态快速而稳定的方案, 数值计算表明该方案所需时间远少于从|0,0〉到|1,1〉的绝热跃迁的时间.与单量子点不同, 量子无摩擦动力学适用于双量子点中的双电子自旋控制, 因为对每个点在x和y方向外加电场, 存在4 个可调控参数, 具有更大的自由度.根据绝热定理, 可以找到只在x方向施加电场的绝热操控方案.通过添加反绝热跃迁项, 得到类似于绝热演化过程的结果, 可大大缩短操控时间.值得注意的是, 反绝热跃迁项需要由外加y方向的电场执行.为简化实验装置, 减少与器件有关的噪声, 文献[72]使用了多重薛定谔绘景的概念, 寻找另一种只存在x方向电场的绝热捷径, 并且在限定最大的电场强度限制下, 得到tf→0 时最大电场强度与操控时间的关系:

还发现降低操控时间可以大大提高自旋比特在外界噪声和系统误差下的鲁棒性, 这有助于快速制备量子纠缠态.

3.3 多量子点体系中量子态的传输

3.3.1 多量子点阵列中电荷态的非绝热传输

Greentree 等[42]于2004 年提出了绝热通道耦合转移方案在三量子点阵列中传输电子电荷, 该方案是一种空间绝热通道过程, 是受激拉曼绝热通道[80]的一种变形.考虑三量子点一维阵列, 其每个量子点中能级高度一致.由此, 哈密顿量可以写为

式中: 相邻点之间的隧穿系数由外加高斯型脉冲电压

控制; h.c.表示厄米共轭.该哈密顿量具有能量为0 的瞬时本征态, 即暗态

电荷态可以通过该暗态, 从态|1〉绝热地传输至态|3〉, 而不激发量子点2 中的粒子数.为了实现非绝热传输, 同时抑制传输过程中间点内几率的激发, 文献[56]使用了反控制法[70]给出了三量子点中电荷的非绝热传输方案, 得到了控制外场~Ω12和~Ω23(区别于高斯型Ω23(t)和Ω12(t)), 该方案调控脉冲幅度为1∼10 GHz 量级, 传输时间在纳秒量级, 量子点2 中布居数的激发几率可控在1%以下.

文献[71]将三量子点中电荷的非绝热传输方案推广至任意奇数个量子点阵列中.2n+1个量子点阵列中电荷的传输可以使用绝热通道跨场相干传输(straddling coherent transfer by adiabatic passage, SCTAP)[42,81]技术实现.系统的哈密顿量可以写成

式中:Ω1,Ω2分别是第1,2 个点之间和第2n,2n+1 个点之间的耦合系数;Ωs是第2,3,··· ,2n个点之间的耦合系数;(ci)是产生(湮灭)算符.在奇数个点阵列中, 因为谱对称性[78], 所以哈密顿量具有暗态, 其非归一化形式为

第偶数个点内的态的几率为0, 只有第奇数个点的几率需要调控.而当

时, 第3,5,···,2n −1 个点中的几率可以被抑制.因此, 只需调控Ω1和Ω2, 就可实现电荷在阵列两端的传输, 并且不激发中间点中的几率.为实现2n+1 个量子点阵列中电荷的非绝热传输, 可将其等效为一个三量子点.第3,5,···,2n −1 个点中几率可以通过施加幅度非常大的电场Ωs来抑制, 即将X系数控制得非常小.而对于第偶数个点内粒子数的激发抑制, 只需要采用

3.3.2 三量子点中电荷态的快速产生和传输

文献[74]提出了加速受激拉曼绝热通道和分数-受激拉曼绝热通道方法, 分别使用了量子无摩擦动力学、缀饰态方法、共振技术, 获得了三量子点系统中电荷叠加态快速非绝热的3 种产生和传输方案, 并分析了3 种方案的区别.在GaAs/AlGaAs 2 维电子气中, 三量子点体系由三角形排列的3 个量子点组成, 量子点间的隧穿系数由外加电极调控电压来控制.

通过施加双曲正切形状或者高斯型的场, 可以获得电荷叠加态产生和传输的绝热过程.量子无摩擦动力学将绝热通道过程缩短了100 倍.该方法找到了反绝热跃迁项, 使得态的演化一直处在系统的暗态上.然而, 反绝热跃迁项添加了不同能级的耦合项, 为了避免添加不同方向的外加电压影响控制效率, 还需要旋转哈密顿量, 从而获得等效的控制场.值得注意的是, 在t=t0和t=tf时刻, 态在哈密顿量旋转后与暗态保持一致, 中间时刻的动力学有所不同, 中间态将有所激发.缀饰态方法提供了另一种绝热捷径技术, 在缀饰态基矢中寻找反绝热跃迁项.由于该方案提供了更多的自由度, 故中间态在中间时刻的激发可以控制在1%以下.在绝热表象中, 将哈密顿量类比于磁场中自旋为1 的自旋进动.在外加电场作用下, 自旋绕等效磁场进动一周, 就完成了一次调控过程.这样的共振过程也提供了一种绝热捷径技术.

3.3.3 量子点阵列中的自旋选择性电子转移

文献[78]提出了一种在硅量子点阵列中的自旋选择性相干电子转移方案, 根据自旋态的不同, 利用时控门电压将电子转移到不同的量子点.该文献研究了3 种不同的方案: 基于π 脉冲的非绝热控制、自旋受激拉曼绝热通道和基于不变量的反控制方案, 其中基于不变量的绝热捷径方案, 使得同一自旋方向的电子传输的操控时间短于自旋受激拉曼绝热通道方案, 并且比π 脉冲控制的鲁棒性更强.简单π 脉冲对于时间的积分面积的误差较为敏感, 导致布居数的转移并不完美.电子的自旋受激拉曼绝热通道, 具有较强的鲁棒性, 但是操控时间比较长.此外,文献[78]还证明了该方案可以扩展到多电子系统来实现双量子比特门.

3.3.4 双电子自旋纠缠态在多量子点阵列中的传输

文献[77]提出了双电子自旋纠缠态(包括单重态、三重态), 在n个多量子点阵列中的非绝热传输方案.相较于绝热方案, 通过调控相邻点间势垒高度, 非绝热方案缩短了操控时间, 减小了环境退相干的影响.双电子在多量子点阵列系统中的传输可以用Hubbard 模型描述.当所有量子点内能级高度一致时, 单重态、三重态空间内各自都有暗态.当电子库仑相互作用大于隧穿系数最大幅度的平方时, 反平行和平行自旋单重态之间的跃迁可以忽略.调控隧穿系数可以绝热传输单重态|S12〉 →|S(n−1)n〉和三重态, 并在四量子点中绝热传输(|S12〉 →|S14〉).该文献还采用了反控制法非绝热传输纠缠态, 将操控时间缩短到1/50, 达到纳秒量级.用2 个角度χ和η来参数化波函数, 如式(19)∼(20)所示.在满足边界条件情况下选择Gutman 1∼3 路径, 可得在三量子点中(|S12〉 →|S23〉)非绝热传输的隧穿系数:

以三量子点为基本单位, 任何长度为n个量子点(n >3)的阵列中(|S12〉 →|S(n−1)n〉)非绝热传输都可以由一组n −2 个系列电脉冲来控制隧穿系数:

如果在三量子点纠缠态的传输时间为tf, 那么n个量子点的传输时间为(n −2)tf.文献[77]还讨论了非绝热传输在电荷噪声、电脉冲幅度扰动、核自旋影响下的保真度, 发现缩短传输时间相较于绝热传输能有效提高保真度.

4 结论与展望

本工作回顾了半导体量子点中, 使用量子绝热捷径技术控制电荷态和自旋态的非绝热控制方案, 包括单量子点中单电子自旋比特操控、双量子点中单重态-三重态操控、三量子点中电荷态产生和传输、多量子点中电荷态的传输、多量子点中自旋纠缠态的传输等, 其中电子量子态的非绝热操控时间在纳秒量级.在考虑环境退相干、外加场幅度噪声、系统误差等环境条件时, 非绝热操控方案相较于绝热操控方案具有更高的保真度.这些方案为设计和实现固态量子器件提出了重要理论依据, 为基于半导体的大规模量子信息处理和固态量子计算预示了良好的前景.